関数$f(\theta)=\sqrt{2}(\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta)-\cos \theta(\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta)$について次の問いに答えなさい．ただし$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$とする．

(1)$t=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$とおくとき，$t$の値の取りうる範囲を求めなさい．
(2)$\cos \theta (\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta)$を$t$を用いて表しなさい．
(3)関数$f(\theta)$を$t$を用いて表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$の最大値と最小値，および最大値と最小値を与える$t$の値を求めなさい．
(4)関数$f(\theta)$の最大値と最小値，および最大値と最小値を与える$\theta$の値を求めなさい．

$a,\ b$は定数で$b>0$とする．$2$つの$2$次方程式

$x^2+2ax-a^2+b=0 \qquad \cdots①$
$\displaystyle x^2+ax+a+\frac{5}{4}=0 \qquad \;\!\cdots②$

について，以下の問いに答えなさい．

(1)$b=2$とするとき，$2$つの$2$次方程式$①$と$②$がともに実数解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)$\displaystyle b=\frac{1}{2}$とするとき，$2$つの$2$次方程式$①$と$②$のどちらか一方だけが実数解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．
(3)$2$次方程式$①$が実数解をもち，$2$次方程式$②$が実数解をもたないような$a$の値の範囲を$b$を用いて表しなさい．

$t$を実数とし，$a=t^3+2(2+\sqrt{6})t^2+3(1+2 \sqrt{6})t+2(2+\sqrt{6})$とする．点$(2,\ -2)$を通り，傾き$a$の直線を$\ell$とする．$\ell$と放物線$y=x^2$が交わらない$t$の範囲を求めよ．

関数$f(x)=\sqrt{3} \sin x-\cos x$および$g(x)=\sin x+\sqrt{3} \cos x$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$と$\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}$の交点の座標を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$と$\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}$，および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

$a>0$とする．$x>0$で定義された関数$y=x^2+ax-3a^2 \log x$のグラフが$x$軸と共有点をもつような$a$の範囲を求めよ．

曲線$C:y=x^3-6x^2+9x$について，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
(2)定数$a$に対し，直線$\ell:y=ax$が曲線$C$と$x=2$で交点をもつとき，$a$の値と全ての交点の座標を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)直線$\ell$が曲線$C$と$x \geqq 0$の範囲で異なる$3$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．

実数$a,\ b,\ c$は，$a<b<c$，$a+b+c=0$を満たしている．このとき，放物線$C:y=ax^2+bx+c$を考える．

(1)$C$は$x$軸と異なる$2$点で交わることを示せ．
(2)$C$が$x$軸から切り取る線分の長さを$L$とする．このとき，$L^2$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(2)$で定義した$L$の値の範囲を求めよ．

$a$を$0$でない実数とする．$xy$平面上に$3$つの曲線$C_1:y=x^2+a^4$，$C_2:y=x^2$，$C_3:y=-x^2+2a^2x-2a^4+4a$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$に$1$本の接線を引き，$C_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と，点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の軌跡$C_4$の方程式を求めよ．
(2)$C_3$と$C_4$が$2$つの交点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たすとき，$C_3$と$C_4$で囲まれた部分の面積を$a$の関数と考えて$S(a)$とする．$S(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ニ]$に入れるのに適する数値，式を答えよ．

(1)$2$次方程式$2x^2-3x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2,\ \beta^2$を解とする$2$次方程式の$1$つは$[サ]$である．
(2)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 7)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(3,\ 4)$を通る円の方程式は$[シ]$である．また，この円と直線$y=x+k$が接するとき$k=[ス]$，$[セ]$である．
(3)関数$y=\cos 2x+2 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めると，$x=[ソ]$，$[タ]$のとき最大値$y=[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$y=[テ]$をとる．
(4)不等式$\log_2(x+5)+\log_2(x-2)<3$を満たす$x$の範囲は$[ト]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2n^2-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ナ]$であり，$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_na_{n+1}$を$n$の式で表すと$[ニ]$である．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$と$2$次関数$f(x)=-x^2+ax$を考える．ただし，$a$は正の定数である．以下の問題に答えよ．

(1)$y_1=-x^2+x$，$y_2=-x^2+2x$とする．$\displaystyle \frac{y_2}{y_1}>0$となる$x$の値の範囲を求めよ．また，次の式を満たす$x$の値を求めよ．
\[ \log_2 \left( \frac{y_2}{y_1} \right)=2 \]
(2)積分$\displaystyle \int_0^1 |f(x)| \, dx$の値を$a$を用いて表せ．また，この値が最小となるときの$a$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{5}{4}$とする．関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$とし，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸へ下ろした各々の垂線を$\mathrm{PP}^\prime$，$\mathrm{QQ}^\prime$とする．ただし，$p$は$\displaystyle 0<p<\frac{1}{4}$または$\displaystyle \frac{1}{4}<p<1$を満たす．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$を結ぶ図形が平行四辺形となるとき，$p$の値を求めよ．