$a$を実数として，$2$つの不等式

$x^2-y^2 \geqq 0 \qquad\qquad\qquad\quad\, \cdots\cdots (\mathrm{A})$
$(x-a-1)^2+y^2 \leqq a^2 \qquad \cdots\cdots (\mathrm{B})$

を考える．

(1)平面上で$(\mathrm{A})$の定める領域を図示せよ．
(2)実数$x,\ y$について，$(\mathrm{A})$が成り立つことが$(\mathrm{B})$が成り立つことの必要条件となるような$a$の範囲を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$m$を実数の定数とする．$x$についての$2$つの$2$次不等式

$x^2-4x+3<0 \qquad\hspace{2.65mm} \cdots\cdots \ ①$
$x^2-2mx-8m^2<0 \cdots\cdots \ ②$

を考える．$①$の解は
\[ [ア]<x<[イ] \]
である．
$①$を満たすすべての実数が$②$を満たすような$m$の値の範囲は
\[ m \leqq \frac{[ウエ]}{[オ]}, \frac{[カ]}{[キ]} \leqq m \]
である．
また，$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在しないような$m$の値の範囲は
\[ \frac{[クケ]}{[コ]} \leqq m \leqq \frac{[サ]}{[シ]} \]
である．
(2)$4$進法で表された$123_{(4)}$を$10$進法で表すと，$[スセ]$である．
整数$n$を$4$進法で表したとき，$3$桁になった．このとき，$n$のとり得る値の範囲を$10$進法で表すと
\[ [ソタ] \leqq n \leqq [チツ] \]
である．
$10$進法で表された$3^{20}$を$4$進法で表すと，その桁数は$[テト]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

次の空欄に当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．ただし，空欄$[サシ]$は$2$桁の数をあらわす．

(1)$k$を自然数とすると
\[ \int_0^\pi \sin^k x \cos x \, dx=[ア] \]
である．
(2)直線$y=\sqrt{3}x$を$\ell$とし，曲線$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$を$C$とする．直線$\ell$上に点$\mathrm{A}$をとり，点$\mathrm{A}$において直線$\ell$と直交する直線を$L$とする．関数$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$は$x$に関する単調増加関数であるので，直線$L$と曲線$C$の共有点は$1$点のみである．その共有点を$\mathrm{B}(t,\ \sqrt{3}t+\sin^2 t)$とする．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離を$h$とおくと，
\[ h=\frac{1}{[イ]} \sin^2 t \]
となる．また，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の距離を$p$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標が$0$以上であるときは
\[ p=[ウ]t+\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]} \sin^2 t \]
となる．この等式の右辺を$f(t)$とおく．
$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形を考え，その図形を直線$\ell$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とすると，$\displaystyle V=\pi \int_0^{\mkakko{カ} \pi} h^2 \, dp$となる．ここで，$p=f(t)$とおいて置換積分すれば，
\[ V=\frac{\pi}{[キ]} \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt \]
が成り立つ．$\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt=\frac{[ク]}{[ケ]} \pi$より，$\displaystyle V=\frac{[コ]}{[サシ]} \pi^2$である．

次の各設問に答えよ．

(1)$3n+9$と$8n+9$の最大公約数が$5$となるような$20$以下の自然数$n$は$[ア]$個ある．そのうち最も大きな$n$の値は$[イウ]$である．
(2)曲線$C:y=x^2-2ax+2a^2-5a$（$a$は定数）は$x$軸と異なる$2$点で交わるものとする．$a$の値の取り得る範囲は$[エ]<a<[オ]$である．
そして，$C$と$x$軸とで囲まれた領域の面積が$8 \sqrt{6}$のとき，$a$の値は小さい順に$[カ]$，$[キ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について，
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である．
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である．
(3)$a,\ b$を整数とする．$a$を$13$で割ると$10$余り，$b$を$13$で割ると$7$余るとき，$a+b$，$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$，$[ケ]$である．また，$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である．
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり，そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある．
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき，
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ，$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは，関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である．このとき，もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である．
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$，$y \geqq 0$を満たすとき，$6x+3y$は$x=[ケ]$，$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり，$x=[スセ]$，$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる．
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき，$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である．

$e$を自然対数の底とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{2}{3} \log_e x+2x^2+ax$が極値をもつための$a$の値の範囲は$\displaystyle a<\frac{[キク] \sqrt{[ケ]}}{[コ]}$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の成分はそれぞれ$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$である．線分$\mathrm{AB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{BO}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．ただし，$0<t<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}<\cos \theta<\frac{1}{\sqrt{2}}$となる$t$の値の範囲は$\displaystyle 0<t<\frac{[ア]}{[イ]}$である．

$2$つの変量をもつ$100$個のデータ$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$，$\cdots$，$(x_{100},\ y_{100})$が，
\[ \sum_{i=1}^{100} {x_i}^2=500,\quad \sum_{i=1}^{100} {y_i}^2=900,\quad \sum_{i=1}^{100} x_iy_i=500 \]
を満たす場合を考える．$\displaystyle X=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} x_i$および$\displaystyle Y=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} y_i$とするとき，点$(X,\ Y)$の存在範囲は不等式$\displaystyle \frac{(Y-X)^2}{[シ]}+\frac{X^2}{[ス]} \leqq 1$の表す領域である．また，$|X+Y|$のとり得る値の範囲は$0 \leqq |X+Y| \leqq [セ] \sqrt{[ソ]}$である．

$2$次方程式$\displaystyle (\log_4 a-1)x^2+(\log_2 a-2)x+\log_4 \frac{1}{a}=0$について，以下の設問に答えよ．

(1)この方程式が異なる$2$つの実数解を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)この方程式が異なる$2$つの負の解を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が条件
\[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1 \quad \text{かつ} \quad |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=\frac{25}{44} \]
をみたすとする．ベクトル$\overrightarrow{c}$が正の数$t$を用いて
\[ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \]
と表され，かつ$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{5}$であるならば
\[ t=\frac{[アイ]}{[ウ]} \]
である．
(2)座標平面上の放物線$\displaystyle C_1:y=\frac{4}{5}x^2$と円$C_2:x^2+(y-a)^2=a^2$（$a$は正の定数）が$3$つの共有点をもつような$a$の値の範囲は
\[ a>\frac{[エ]}{[オ]} \]
である．