$b_1=1,\ b_2=4,\ b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{b_n\}$がある．数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n+\frac{1}{n(n+1)}+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

数列$\{a_n\}$は初項$a$，公比$r$の等比数列であり，その一般項を$a_n$で表す．また，数列$\{b_n\}$は一般項が$b_n=\log_2 a_n$で定義され，その初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．ただし，$n$は自然数である．次の各問に答えなさい．

(1)$a_2=16$，$b_3=2$とする．

(i) $r,\ a$の値を求めなさい．
(ii) $b_5,\ S_5$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n \geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい．

(2)$\displaystyle a=2^{32},\ \frac{a}{r}=2^{35}$とする．

(i) $r,\ a_{10}$の値を求めなさい．
(ii) $S_n$が最大になるとき，$n$および$S_n$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい．

(3)$\displaystyle x>-2,\ \beta=\frac{3\pi}{7},\ \theta=\frac{\pi}{14}$とする．

(i) 次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい．
\[ a=x+2,\quad r=x+3,\quad b_2=1+\log_2 (x+8) \]
(ii) $\log_2 a=\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \theta$，$\log_2 r=\sin^2 \beta+\cos \beta \sin \theta$のとき，$b_2$の値を求めなさい．
(iii) $\log_2 a=\sin^2 \theta+\cos \beta \cos \theta$，$\displaystyle \log_2 r^2=\frac{1}{2} \cos 2\theta-\sin \beta \sin \theta$のとき，$b_3$の値を求めなさい．

$b_1=1,\ b_2=4,\ b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{b_n\}$がある．数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n+\frac{1}{n(n+1)}+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$b_1=1,\ b_2=4,\ b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{b_n\}$がある．数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n+\frac{1}{n(n+1)}+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$a$は$0$でない実数，$r$は$0<r<1$を満たす実数とする．初項$a$，公比$r$の等比数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$に対し，
\[ S=\sum_{n=1}^\infty a_n,\quad T=\sum_{n=1}^\infty a_na_{n+1} \]
とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$S$と$T$をそれぞれ$a$と$r$を用いて表せ．
(2)$S=T$のとき，$a$を$r$を用いて表せ．
(3)$S=T$のとき，$S$を$r$を用いて表せ．
(4)$S=T$のとき，$S$の最小値と，最小値を与える$r$の値をそれぞれ求めよ．

$x-6,\ x,\ y$がこの順で等比数列であり，$x-9,\ x,\ y-x$がこの順で等差数列であるとする（$x>6$，$y>0$，$x,\ y$は実数）．$\displaystyle \frac{3y}{x}$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項$5 \log_2 3$，公差$\displaystyle -\frac{1}{2} \log_2 3-\frac{1}{2}$の等差数列とする．このとき，

(1)$\displaystyle a_{10}=\frac{[ア]}{[イ]} \log_2 3-\frac{[ウ]}{[エ]},\quad a_{11}=-[オ]$
である．
(2)数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=2^{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めると，これは初項$[カ][キ][ク]$，公比$\displaystyle \frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]}$の等比数列となる．
(3)数列$\{a_n\}$はある$n$より先は負となる．$a_n$が負となる最初の$n$は$[サ]$である．

$c$を定数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{c+\sum_{k=1}^n 2^k}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．

(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+1}=[$1$]+\frac{a_n}{[$2$]} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．
(2)$a_n$を$n$の式で表すと
\[ a_n=2-\frac{[$3$]-c}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となる．ゆえに，$c=[$4$]$のとき数列$\{a_n\}$は公比$1$の等比数列になる．
(3)$c=1$とする．$a_n$が$1.99$を超えない最大の$n$は$[$5$]$である．
(4)$c=-38$とする．自然数$N$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n$の値は$N=[$6$]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[$7$][$8$][$9$]}{[$10$]}$をとる．

公比が正の等比数列がある．初項と第$2$項の和が$\displaystyle \frac{16}{7}$であり，初項から第$6$項までの和が$19$であるとき，この等比数列の初項は$[　]$であり，公比は$[　]$である．

次の各設問に答えよ．

(1)数列$10,\ 22,\ 41,\ 74,\ \cdots$は，初項が$[ア]$，公差が$[イ]$の等差数列と，初項が$[ウ]$，公比が$[エ]$の等比数列の和で表すことができる．
(2)$a,\ b$を正の実数として，$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(a,\ 8)$，$\mathrm{Q}(b,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{OPQ}={90}^\circ$の三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は，$a=[オ]$，$b=[カキ]$のとき，最小値$[クケ]$をとる．