$i$を虚数単位とする．次の事実がある．
\begin{waku}[事実$\mathrm{F}$]
$a,\ b$を互いに素な正の整数とする．このとき，
\[ \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{b} \pi+i \sin \frac{2}{b} \pi \]
となる整数$k$が存在する．
\end{waku}

(1)等式
\[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \]
を満たす最小の正の整数$k$は$[ツ]$である．
(2)$a,\ b$を互いに素な正の整数とし，集合$P$を
\[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \]
で定める．事実$\mathrm{F}$を考慮すると，集合$P$の要素の個数$n(P)$は$[テ]$である．
(3)事実$\mathrm{F}$を証明しなさい．
(4)$a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし，$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする．集合$Q_1$と$Q_2$を

$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$

$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$

で定め，集合$R$を
\[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \]
で定める．$b_1$と$b_2$が互いに素ならば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ト]$である．$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき，それらの最大公約数を$d$とすれば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ナ]$である．

$a$を$0$でない実数とする．等式
\[ f(x)=\frac{3}{a}x^2-\frac{1}{a}x+\left\{ \int_0^2 f(t) \, dt \right\}^2 \]
を満たす関数$f(x)$を考える．

(1)$a=-1$のとき，この等式を満たす$f(x)$は$2$つある．それらを求めよ．
(2)この等式を満たす$f(x)$がただ$1$つであるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$b$を正の実数とする．定積分$\displaystyle \int_0^b \{f(x)-f(b)\} \, dx$の値が$a$によらないとき，$b$の値を求めよ．
(4)$a$と$b$を，それぞれ$(2)$と$(3)$で求めた値とするとき，定積分$\displaystyle \int_b^2 f(x) \, dx$を求めよ．

正の整数$m,\ n$に対して$f(m,\ n)$が次の等式を満たすように定められている．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(1,\ 1)=1,\quad f(2,\ 2)=6,\quad f(3,\ 3)=20 \\
f(m,\ n)=2f(m-1,\ n) \quad (m \geqq 2) \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
f(m,\ n)+3f(m,\ n-2)=3f(m,\ n-1)+f(m,\ n-3) \quad (n \geqq 4) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
次の問に答えよ．

(1)$f(m,\ 1)$および$f(1,\ n)$をそれぞれ$m,\ n$の式で表せ．
(2)$f(6,\ 32)$の値を求めよ．
(3)任意の正の整数$l$に対して，$f(m,\ n)=l$を満たす正の整数$m,\ n$が存在することを示せ．

$x$の$3$次式$f(x)$が等式
\[ 4f(x)-xf^\prime(x)=3x^3-4x^2-6x+4 \]
を満たすとき，次の問に答えよ．

(1)このとき，$f(x)=[$37$]x^3-[$38$]x^2-[$39$]x+[$40$]$である．

(2)曲線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(0,\ [$40$])$で$C$と接する接線を$\ell$とするとき，$\ell$の方程式は$y=-[$41$]x+[$42$]$であり，この$\ell$は，点$(0,\ [$40$])$以外の$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{[$43$]}{[$44$]},\ -\frac{[$45$]}{[$46$]} \right)$において$C$と交わる．

(3)$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$47$]}{[$48$][$49$]}$である．

複素数平面上で，等式
\[ \frac{z-1}{z+1}=|\displaystyle\frac{z-1|{z+1}}i \]
を満たす点$z$全体が表す図形を求め，その図形を複素数平面上に図示せよ．ただし，$i$は虚数単位で，複素数$w$に対して$|w|$は$w$の絶対値を表す．

次の$[　]$を適当に補え．$(6)$，$(7)$は選択問題である．

(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．

(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．

(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは，
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である．
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき，$\tan \theta$の値は$[カ]$である．
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である．
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち，最小のものは$[ク]$である．
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある．
(7)食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$がある．食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む．食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む．栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上，栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を混合するとき，費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい．

(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき，$S$の値は$[シ]$である．

$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{1}{2} \cos (2n+1) \theta+\sum_{j=1}^n (\sin 2j \theta) \sin \theta=\frac{1}{2} \cos \theta \]

次の問いに答えよ．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{d^n}{dx^n}(e^x \sin x)=2^{\frac{n}{2}} e^x \sin \left( x+\frac{n\pi}{4} \right) \]
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，
\[ a_n=3+\left( \frac{2}{3} \right)^{n-1},\quad s_n=\frac{a_1+\cdots +a_n}{n+1} \]
とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対して，$s_{n-1}<s_n$が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \sin \theta=2^n \cos \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2^2} \ \cdots \ \cos \frac{\theta}{2^n} \sin \frac{\theta}{2^n} \]
(2)$0<\theta<\pi$のとき，次の極限値を$\theta$を用いて表せ．
\[ \lim_{n \to \infty} \cos \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2^2} \ \cdots \ \cos \frac{\theta}{2^n} \]