「等差数列」について
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私立 早稲田大学 2016年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
私立 京都産業大学 2016年 第1問以下の$[ ]$にあてはまる式または数値を記入せよ．
(1)不等式$|2x-4|>x$を満たす$x$の値の範囲は$[ ]$である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$2 \sin^2 \theta \geqq 3 \cos \theta+3$を満たす$\theta$の値の範囲は$[ ]$である．
(3)以下の数列$\{a_n\}$の階差数列は等差数列になっている．この数列$\{a_n\}$の第$21$項の値は$[ ]$である．
\[ 3,\ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ \cdots \]
(4)$2$つのベクトル$\displaystyle \overrightarrow{a}=\left( x,\ \frac{1}{2} \right),\ \overrightarrow{b}=\left( 2,\ \frac{7}{2} \right)$について，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$とが垂直であるとき，実数$x$の値は$[ ]$である．
(5)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2+2x}+x \right)$の値は$[ ]$である．
(1)不等式$|2x-4|>x$を満たす$x$の値の範囲は$[ ]$である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$2 \sin^2 \theta \geqq 3 \cos \theta+3$を満たす$\theta$の値の範囲は$[ ]$である．
(3)以下の数列$\{a_n\}$の階差数列は等差数列になっている．この数列$\{a_n\}$の第$21$項の値は$[ ]$である．
\[ 3,\ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ \cdots \]
(4)$2$つのベクトル$\displaystyle \overrightarrow{a}=\left( x,\ \frac{1}{2} \right),\ \overrightarrow{b}=\left( 2,\ \frac{7}{2} \right)$について，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$とが垂直であるとき，実数$x$の値は$[ ]$である．
(5)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2+2x}+x \right)$の値は$[ ]$である．
私立 立教大学 2016年 第3問実数$c$を$\displaystyle c<\frac{3}{2}$とし，$f(x)=(x-4)(x^2-3x-c^2+3c)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸が異なる$3$点で交わり，それら$3$つの交点の$x$座標がすべて正となるときの$c$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等差数列となるときの$c$の値を求めよ．また，このときの交点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等比数列となるときの$c$の値を求めよ．また，このときの交点の$x$座標をすべて求めよ．
(4)$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_2$とする．曲線$C_1,\ C_2$と，$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸が異なる$3$点で交わり，それら$3$つの交点の$x$座標がすべて正となるときの$c$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等差数列となるときの$c$の値を求めよ．また，このときの交点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等比数列となるときの$c$の値を求めよ．また，このときの交点の$x$座標をすべて求めよ．
(4)$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_2$とする．曲線$C_1,\ C_2$と，$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 同志社大学 2016年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
(1)初項が$a_1$で公差が$d$である等差数列$\{a_n\}$について，$a_{27}=20$，$a_{37}=15$が成り立っている．このとき，$a_1=[ア]$であり，$d=[イ]$である．したがって$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=[ウ]$となる．
(2)$2$曲線$y=4^x (x \geqq 0)$と$y=8^x (x \geqq 0)$と直線$x=1$に囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積は$[エ]$であり，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[オ]$であり，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[カ]$である．
(3)双曲線
\[ C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \]
上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{\cos \theta},\ 2 \tan \theta \right) (0<\theta<\frac{\pi}{2})$における接線$\ell$の方程式は$[キ]$であり，法線$m$の方程式は$[ク]$である．また，$m$と$x$軸の交点を$(X,\ 0)$とし$m$と$y$軸の交点を$(0,\ Y)$とすると，$X$の範囲は$[ケ]$であり，$Y$の範囲は$[コ]$である．
(1)初項が$a_1$で公差が$d$である等差数列$\{a_n\}$について，$a_{27}=20$，$a_{37}=15$が成り立っている．このとき，$a_1=[ア]$であり，$d=[イ]$である．したがって$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=[ウ]$となる．
(2)$2$曲線$y=4^x (x \geqq 0)$と$y=8^x (x \geqq 0)$と直線$x=1$に囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積は$[エ]$であり，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[オ]$であり，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[カ]$である．
(3)双曲線
\[ C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \]
上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{\cos \theta},\ 2 \tan \theta \right) (0<\theta<\frac{\pi}{2})$における接線$\ell$の方程式は$[キ]$であり，法線$m$の方程式は$[ク]$である．また，$m$と$x$軸の交点を$(X,\ 0)$とし$m$と$y$軸の交点を$(0,\ Y)$とすると，$X$の範囲は$[ケ]$であり，$Y$の範囲は$[コ]$である．
私立 大阪薬科大学 2016年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の最大値が$5$以上である確率を$p$，出る目の最大値が$4$以下である確率を$q$とする．このとき，$p$と$q$の間で成り立つ大小関係を次のア～ウのうちからひとつ選べ．ただし，どのさいころも$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
ア：「$p<q$」 \qquad イ：「$p=q$」 \qquad ウ：「$p>q$」
(2)第$2$項が$3$，第$22$項が$33$である等差数列の第$28$項の値を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$(5x+1)^n$の展開式における$x^2$の項の係数が$700$である$n$の値を求めよ．
(4)$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数とする．$x$の関数
\[ f(x)=2x^3-3(2+\sin \theta)x^2+(1+\sin \theta)(2+\sin \theta)^2 \]
の極小値を$m(\theta)$とし，$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの$m(\theta)$のとり得る最大の値を$M$とする．このとき，$M$の値，および$m(\theta)=M$を満たす$\theta$の値を求めよ．
(1)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の最大値が$5$以上である確率を$p$，出る目の最大値が$4$以下である確率を$q$とする．このとき，$p$と$q$の間で成り立つ大小関係を次のア～ウのうちからひとつ選べ．ただし，どのさいころも$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
ア：「$p<q$」 \qquad イ：「$p=q$」 \qquad ウ：「$p>q$」
(2)第$2$項が$3$，第$22$項が$33$である等差数列の第$28$項の値を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$(5x+1)^n$の展開式における$x^2$の項の係数が$700$である$n$の値を求めよ．
(4)$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数とする．$x$の関数
\[ f(x)=2x^3-3(2+\sin \theta)x^2+(1+\sin \theta)(2+\sin \theta)^2 \]
の極小値を$m(\theta)$とし，$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの$m(\theta)$のとり得る最大の値を$M$とする．このとき，$M$の値，および$m(\theta)=M$を満たす$\theta$の値を求めよ．
私立 埼玉工業大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまるものを記入せよ．
(1)整式$P(x)$を$(x+1)^3$で割ったときの余りが$x^2-x+1$のとき，$P(x)$を$(x+1)^2$で割った余りは，$[アイ]x$である．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ \left( \frac{1}{2} \right)^n+\left( \frac{1}{3} \right)^n \right\}$の和は，$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)正の整数$a,\ b$について，$a$を$5$で割ると余りが$2$，$b$を$5$で割ると余りが$3$である．積$ab$を$5$で割ったとき，余りは$[オ]$となる．
(4)$3$つの数$4,\ a,\ b$は，この順に等差数列をなし，$a,\ b,\ 4$は，この順に等比数列をなす．このとき$a=[カ]$，$b=[キク]$である．ただし，$a$と$b$は等しくないとする．
(1)整式$P(x)$を$(x+1)^3$で割ったときの余りが$x^2-x+1$のとき，$P(x)$を$(x+1)^2$で割った余りは，$[アイ]x$である．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ \left( \frac{1}{2} \right)^n+\left( \frac{1}{3} \right)^n \right\}$の和は，$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)正の整数$a,\ b$について，$a$を$5$で割ると余りが$2$，$b$を$5$で割ると余りが$3$である．積$ab$を$5$で割ったとき，余りは$[オ]$となる．
(4)$3$つの数$4,\ a,\ b$は，この順に等差数列をなし，$a,\ b,\ 4$は，この順に等比数列をなす．このとき$a=[カ]$，$b=[キク]$である．ただし，$a$と$b$は等しくないとする．
私立 聖マリアンナ医科大学 2016年 第2問数列$\{a_n\}$は等差数列で，初項と公差はともに正の整数$a$である．以下の$[ ]$にあてはまる適切な数，または式を記入しなさい．
(1)この数列の一般項は，$a_n=[ ]$となる．ここで，$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}$を$a,\ k$を用いた式で表すと$[ ]$となる．
(2)この数列が，ある番号$k (k \geqq 5)$について$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}=2016$を満たしているとする．
(i) $2016$を素因数分解すると$[ ]$となる．これを用いて，$a,\ k$を求めると，$(a,\ k)=([ ],\ [ ])$となる．
(ii) この数列の連続した$3$項$a_t,\ a_{t+1},\ a_{t+2}$が
\[ {a_t}^3+{a_{t+1}}^3={a_{t+2}}^3-2 \]
を満たすとき，$a_{t+1}$の値は$[ ]$である．
(iii) この数列の連続した$11$項$a_s,\ a_{s+1},\ \cdots,\ a_{s+10}$が
\[ {a_{s}}^2+{a_{s+1}}^2+{a_{s+2}}^2+{a_{s+3}}^2+{a_{s+4}}^2+{a_{s+5}}^2={a_{s+6}}^2+{a_{s+7}}^2+{a_{s+8}}^2+{a_{s+9}}^2+{a_{s+10}}^2 \]
を満たすとき，$a_{s+5}$の値は$[ ]$である．
(1)この数列の一般項は，$a_n=[ ]$となる．ここで，$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}$を$a,\ k$を用いた式で表すと$[ ]$となる．
(2)この数列が，ある番号$k (k \geqq 5)$について$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}=2016$を満たしているとする．
(i) $2016$を素因数分解すると$[ ]$となる．これを用いて，$a,\ k$を求めると，$(a,\ k)=([ ],\ [ ])$となる．
(ii) この数列の連続した$3$項$a_t,\ a_{t+1},\ a_{t+2}$が
\[ {a_t}^3+{a_{t+1}}^3={a_{t+2}}^3-2 \]
を満たすとき，$a_{t+1}$の値は$[ ]$である．
(iii) この数列の連続した$11$項$a_s,\ a_{s+1},\ \cdots,\ a_{s+10}$が
\[ {a_{s}}^2+{a_{s+1}}^2+{a_{s+2}}^2+{a_{s+3}}^2+{a_{s+4}}^2+{a_{s+5}}^2={a_{s+6}}^2+{a_{s+7}}^2+{a_{s+8}}^2+{a_{s+9}}^2+{a_{s+10}}^2 \]
を満たすとき，$a_{s+5}$の値は$[ ]$である．
公立 九州歯科大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$5 \sin \theta \cos \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}$，$B=(\sin \theta)^4+(\cos \theta)^4$，$C=(\sin \theta)^8+(\cos \theta)^8$の値を求めよ．
(2)等比数列$\{a_n\}$の初項を$a_1=\alpha$，公比を$r$とする．自然数$n$に対して，$b_n=\log_3 a_n$とおく．数列$\{b_n\}$が初項$b_1=4$，公差$d=-2$の等差数列となるとき，$\alpha$と$r$の値を求めよ．また，$\displaystyle \beta=8 \sum_{n=1}^{\infty} a_n$の値を求めよ．ただし，$\alpha>0$，$r>0$とする．
(3)定積分$\displaystyle I=\int_{-2}^3 (3 \sqrt{x^4-6x^2+9}-4x) \, dx$の値を求めよ．
(1)$5 \sin \theta \cos \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}$，$B=(\sin \theta)^4+(\cos \theta)^4$，$C=(\sin \theta)^8+(\cos \theta)^8$の値を求めよ．
(2)等比数列$\{a_n\}$の初項を$a_1=\alpha$，公比を$r$とする．自然数$n$に対して，$b_n=\log_3 a_n$とおく．数列$\{b_n\}$が初項$b_1=4$，公差$d=-2$の等差数列となるとき，$\alpha$と$r$の値を求めよ．また，$\displaystyle \beta=8 \sum_{n=1}^{\infty} a_n$の値を求めよ．ただし，$\alpha>0$，$r>0$とする．
(3)定積分$\displaystyle I=\int_{-2}^3 (3 \sqrt{x^4-6x^2+9}-4x) \, dx$の値を求めよ．
公立 高崎経済大学 2016年 第2問ある等差数列の第$n$項を$a_n$とするとき，
\[ a_{15}+a_{16}+a_{17}=-2622,\quad a_{99}+a_{103}=-1238 \]
が成立している．次の各問に答えよ．
(1)この等差数列の初項と公差を求めよ．
(2)この等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
\[ a_{15}+a_{16}+a_{17}=-2622,\quad a_{99}+a_{103}=-1238 \]
が成立している．次の各問に答えよ．
(1)この等差数列の初項と公差を求めよ．
(2)この等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．