タグ「等号」の検索結果

1ページ目:全33問中1問~10問を表示)
津田塾大学 私立 津田塾大学 2016年 第3問
$a$を正の実数とする.$x \geqq 0$のとき,次の不等式が成り立つとする.
\[ \frac{x^3}{3}+a \geqq x \]
また,等号が成り立つ正の実数$x$が存在するとする.

(1)$a$の値を求めよ.
(2)次の連立不等式を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ.
\[ x \leqq y,\quad y \leqq \frac{x^3}{3}+a,\quad \frac{x^3}{3}+a \leqq 1 \]
西南学院大学 私立 西南学院大学 2016年 第5問
次の問いに答えよ.

\mon[$\tocichi$] $X_i,\ Y_i (i=1,\ 2,\ 3)$は実数とする.${X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2 \neq 0$,${Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2 \neq 0$のとき,
\[ (X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)^2 \leqq ({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2) \quad \cdots\cdots ① \]
を以下の指示に従って,$2$通りの方法で証明せよ.

\mon[$(1)$] すべての実数$t$に対して,
\[ (tX_1-Y_1)^2+(tX_2-Y_2)^2+(tX_3-Y_3)^2 \geqq 0 \]
が成り立つことを利用して$①$を証明せよ.また等号が成り立つときの条件を示せ.
\mon[$(2)$] 原点を$\mathrm{O}$とする$2$つのベクトル,
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(X_1,\ X_2,\ X_3),\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(Y_1,\ Y_2,\ Y_3) \]
を考える.$①$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって表せ.その上で,$①$を証明せよ.また等号が成り立つときの$2$つのベクトルの位置関係を示せ.

\mon[$\tocni$] 対応する$2$つの変量$x,\ y$の値の組$(x_i,\ y_i) (i=1,\ 2,\ 3)$を考える.変量$x$の平均を$\overline{x}$とし,$x$の偏差を$X$とする.すなわち,$X_i=x_i-\overline{x} (i=1,\ 2,\ 3)$であり,変量$y$についても同様とする.また$x,\ y$の相関係数が定義できる場合を考え,これを$r$とする.このとき,上記$①$を用いて,
\[ -1 \leqq r \leqq 1 \]
となることを示せ.
首都大学東京 公立 首都大学東京 2016年 第1問
以下の問いに答えなさい.

(1)次の式を展開しなさい.
\[ (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \]
(2)$a,\ b,\ c$を$0$以上の実数とする.次の不等式が成り立つことを示しなさい.また,等号が成り立つのはどのようなときか答えなさい.
\[ \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc} \]
公立はこだて未来大学 公立 公立はこだて未来大学 2016年 第5問
$n$を自然数とする.以下の問いに答えよ.

(1)三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ.
\[ 2 \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \]
(2)数学的帰納法によって,次の等式を証明せよ.
\[ 2 \sin \frac{\theta}{2} \sum_{l=1}^n \cos l \theta=\sin \left( n+\frac{1}{2} \right) \theta-\sin \frac{\theta}{2} \]
(3)$m$を整数とする.$\theta \neq 2m\pi$のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ.ただし,等号が成立する条件は調べなくてよい.
\[ |\sum_{l=1|^n \cos l \theta} \leqq \frac{1}{2} \left( 1+{|\sin \displaystyle\frac{\theta|{2}}}^{-1} \right) \]
富山県立大学 公立 富山県立大学 2016年 第3問
次の問いに答えよ.

(1)$x>0$,$y>0$のとき,不等式$\displaystyle \frac{x+y}{2} \geqq \sqrt{xy}$を証明せよ.また,等号が成り立つときを調べよ.

(2)$a>0$,$b>0$,$c>0$で,$a \neq 1$,$c \neq 1$のとき,等式$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$を証明せよ.

(3)$p>1$,$q>1$のとき,不等式$\log_p q+\log_q p \geqq 2$を証明せよ.また,等号が成り立つときを調べよ.
三重大学 国立 三重大学 2015年 第3問
関数$f(x)=e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x} (x \geqq 0)$を考える.以下の問いに答えよ.

(1)$f(x) \geqq 0$を示せ.また等号が成立するような$x$の値を求めよ.
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
三重大学 国立 三重大学 2015年 第3問
関数$f(x)=e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x} (x \geqq 0)$を考える.以下の問いに答えよ.

(1)$f(x) \geqq 0$を示せ.また等号が成立するような$x$の値を求めよ.
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
信州大学 国立 信州大学 2015年 第4問
次の問いに答えよ.

(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ.また,等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ.
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき,同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ.ただし,サイコロが偏りをもつとは,$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう.
信州大学 国立 信州大学 2015年 第3問
次の問いに答えよ.

(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ.また,等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ.
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき,同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ.ただし,サイコロが偏りをもつとは,$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう.
信州大学 国立 信州大学 2015年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ.また,等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ.
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき,同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ.ただし,サイコロが偏りをもつとは,$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう.
スポンサーリンク

「等号」とは・・・

 まだこのタグの説明は執筆されていません。