「端点」について
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国立 九州工業大学 2016年 第1問座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0,\ st<1)$を考える．また，$u=st$とする．点$\mathrm{P}$を通る曲線$C$の$2$本の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし，これらの接線と曲線$C$との接点をそれぞれ$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{1}{a} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( b,\ \frac{1}{b} \right)$とする．ただし，$a<b$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{E}(a,\ 0)$，$\mathrm{F}(b,\ 0)$を考える．台形$\mathrm{ABFE}$の面積を$u$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$u$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S(u)$とする．$S(u)$は区間$0<u<1$で減少することを示せ．
(5)点$\mathrm{P}$が$2$点$(3,\ 0)$，$(0,\ 1)$を結ぶ線分上の端点以外にあるものとする．このとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．
(1)$a,\ b$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{E}(a,\ 0)$，$\mathrm{F}(b,\ 0)$を考える．台形$\mathrm{ABFE}$の面積を$u$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$u$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S(u)$とする．$S(u)$は区間$0<u<1$で減少することを示せ．
(5)点$\mathrm{P}$が$2$点$(3,\ 0)$，$(0,\ 1)$を結ぶ線分上の端点以外にあるものとする．このとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．
私立 久留米大学 2016年 第4問座標平面上で，関数$f(x)=\sqrt{6-x}$で表される曲線$C:y=f(x)$を考える．$4 \leqq t \leqq 5$を満たす実数$t$に対して，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$と$(t,\ 0)$，$(2,\ 0)$および$(2,\ f(t))$の$4$つの点を頂点とする四角形の面積を$S(t)$とする．
(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる．
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり，$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる．
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる．ただし，$n$は正の整数とする．
(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる．
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり，$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる．
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる．ただし，$n$は正の整数とする．
公立 名古屋市立大学 2016年 第4問$2$次関数$y=-x^2+2x+4 (-2 \leqq x \leqq 3)$の表す曲線において，$x=-2$，$x=3$での端点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{C}$をこの曲線上の点とする．次の問いに答えよ．
(1)この関数のグラフをかけ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$15$となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$の二等辺三角形となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(1)この関数のグラフをかけ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$15$となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$の二等辺三角形となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
国立 金沢大学 2015年 第3問座標平面上で，$x$座標と$y$座標がともに$0$以上の整数である点を，ここでは格子点とよぶ．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へ，両端点がともに格子点であり長さが$1$の線分を用いて，格子点$(0,\ 0)$から順に最も少ない本数でつなぐ方法を数える．例えば，格子点$(0,\ 0)$から格子点$(3,\ 1)$へつなぐ方法の数は$4$である．次の問いに答えよ．
(1)格子点$(0,\ 0)$から格子点$(4,\ 0)$へつなぐ方法の数と，格子点$(0,\ 0)$から格子点$(2,\ 2)$へつなぐ方法の数を，それぞれ求めよ．
(2)条件$k+\ell=5$を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を求めよ．
(3)条件$k+\ell=n (n \geqq 1)$を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を$n$を用いて表せ．
(4)条件$k+\ell=n$（$k$と$\ell$はともに偶数で，$n \geqq 2$）を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を$n$を用いて表せ．
(1)格子点$(0,\ 0)$から格子点$(4,\ 0)$へつなぐ方法の数と，格子点$(0,\ 0)$から格子点$(2,\ 2)$へつなぐ方法の数を，それぞれ求めよ．
(2)条件$k+\ell=5$を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を求めよ．
(3)条件$k+\ell=n (n \geqq 1)$を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を$n$を用いて表せ．
(4)条件$k+\ell=n$（$k$と$\ell$はともに偶数で，$n \geqq 2$）を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を$n$を用いて表せ．
国立 愛媛大学 2015年 第2問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$，$\mathrm{C}(4,\ 4)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$があり，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$がある．ただし，$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$の端点にないものとする．直線$\mathrm{OP}$によって三角形$\mathrm{ABC}$を$2$つの図形に分けたとき，点$\mathrm{A}$を含む図形の面積を$S$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さを$t$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$t$の値の範囲を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$が線分$\mathrm{AC}$と共有点をもつような$t$の値の範囲を求め，その共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$S$を$t$を用いて表せ．
(1)$t$の値の範囲を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$が線分$\mathrm{AC}$と共有点をもつような$t$の値の範囲を求め，その共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$S$を$t$を用いて表せ．
国立 豊橋技術科学大学 2015年 第2問図$1$が示すように，平面上に互いに異なる$5$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がある．ただし，$\mathrm{O}$は原点であり，他の$4$点の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．媒介変数$t (0 \leqq t \leqq 1)$を用いて，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$とする．同様に，線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$とする．さらに，線分$\mathrm{HI}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{J}$とし，$t$が$0$から$1$まで変化するときの点$\mathrm{J}$の軌跡を曲線$K$とする（図$1$参照）．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$を表せ．
(3)特殊な条件として，一辺が$r$の正方形上に図$2$に示すように点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を配置する．さらに，中心が$\mathrm{O}$で端点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$とする円弧を$L$とする．線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CD}$の長さはともに半径$r$の$s$倍（$0 \leqq s \leqq 1$）である．このとき，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{d}$および$s$を用いてベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を表せ．
(4)$(3)$において，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの点$\mathrm{J}$に対応する点を特に点$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{M}$が円弧$L$上にあるための条件を$s$の値で示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$を表せ．
(3)特殊な条件として，一辺が$r$の正方形上に図$2$に示すように点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を配置する．さらに，中心が$\mathrm{O}$で端点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$とする円弧を$L$とする．線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CD}$の長さはともに半径$r$の$s$倍（$0 \leqq s \leqq 1$）である．このとき，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{d}$および$s$を用いてベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を表せ．
(4)$(3)$において，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの点$\mathrm{J}$に対応する点を特に点$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{M}$が円弧$L$上にあるための条件を$s$の値で示せ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第4問ある村では公共サービス$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$を提供している．提供された$\mathrm{X}$の量を$x$，$\mathrm{Y}$の量を$y$で表わす．技術的条件や予算の制約によって$(x,\ y)$が実現するのは$x,\ y$がつぎの不等式をみたすときである．
\[ \begin{array}{l}
x+y \leqq 200 \\
x+5y \leqq 790 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
3x+4y \leqq 720 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x,\ y \geqq 0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
$(x,\ y)$が実現する領域は$5$角形であり，その$5$頂点は$(0,\ 0)$，$(200,\ 0)$，$(0,\ 158)$および$\mathrm{A}([$53$][$54$][$55$],\ [$56$][$57$][$58$])$，$\mathrm{B}(80,\ [$59$][$60$][$61$])$である．
現在，一般の村民は$xy$が最大になることを望んでおり，一方，村の有力者一族は$x+10y$が最大になることを望んでいる．村長は$x$と$y$を自由に選ぶことができるが，両方の意向を尊重して
\[ \alpha xy+(1-\alpha)(x+10y) \quad (0<\alpha<1) \]
を最大化する方針をとった．
仮に，$\displaystyle \alpha=\frac{1}{3}$ならば村長の選択は$(x,\ y)=([$62$][$63$],\ [$64$][$65$][$66$])$となる．
村長は最大化のために選択すべき点を線分$\mathrm{AB}$上にとることにした．しかし，予算上端点$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も選択することが認められないことがわかった．すると，$\alpha$は
\[ \frac{[$67$][$68$]}{[$69$][$70$][$71$]}<\alpha<\frac{[$72$][$73$]}{133} \]
の範囲に限定される．
\[ \begin{array}{l}
x+y \leqq 200 \\
x+5y \leqq 790 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
3x+4y \leqq 720 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x,\ y \geqq 0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
$(x,\ y)$が実現する領域は$5$角形であり，その$5$頂点は$(0,\ 0)$，$(200,\ 0)$，$(0,\ 158)$および$\mathrm{A}([$53$][$54$][$55$],\ [$56$][$57$][$58$])$，$\mathrm{B}(80,\ [$59$][$60$][$61$])$である．
現在，一般の村民は$xy$が最大になることを望んでおり，一方，村の有力者一族は$x+10y$が最大になることを望んでいる．村長は$x$と$y$を自由に選ぶことができるが，両方の意向を尊重して
\[ \alpha xy+(1-\alpha)(x+10y) \quad (0<\alpha<1) \]
を最大化する方針をとった．
仮に，$\displaystyle \alpha=\frac{1}{3}$ならば村長の選択は$(x,\ y)=([$62$][$63$],\ [$64$][$65$][$66$])$となる．
村長は最大化のために選択すべき点を線分$\mathrm{AB}$上にとることにした．しかし，予算上端点$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も選択することが認められないことがわかった．すると，$\alpha$は
\[ \frac{[$67$][$68$]}{[$69$][$70$][$71$]}<\alpha<\frac{[$72$][$73$]}{133} \]
の範囲に限定される．
国立 埼玉大学 2014年 第3問南北に平行に走る$5$本の同じ長さの線分が等間隔で並んでいる．西から順に，各線分の南の端点は，$A_0$，$B_0$，$C_0$，$D_0$，$E_0$であり，北の端点は，$A$，$B$，$C$，$D$，$E$である．各線分を$4$等分する点を，南から順に，$1$番地，$2$番地，$3$番地と呼ぶ．隣り合う線分の同じ番地同士を結ぶ線分を橋と呼ぶ．人は南の端点のいずれかをスタート地点として北へ向かって歩き始め，橋に出会わなければそのまま北へ向かって歩き続け，橋に出会えば橋で結ばれた隣の線分に渡ってその線分を北へ向かって歩く．必要ならこれを繰り返し，人は最終的に北の端点のゴール地点に到着する．$D$に家があるとする．$5$つの各スタート地点から家に到着することができるそれぞれの確率を，以下の場合に，求めなさい．
(1)同様に確からしく，$1$番地に$1$本の橋を置く場合
(2)同様に確からしく，たがいに独立に，$1$番地に$1$本，$2$番地に$1$本，$3$番地に$1$本の橋を置く場合
(1)同様に確からしく，$1$番地に$1$本の橋を置く場合
(2)同様に確からしく，たがいに独立に，$1$番地に$1$本，$2$番地に$1$本，$3$番地に$1$本の橋を置く場合
公立 首都大学東京 2014年 第2問空間内の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$について，どの$3$点も同一直線上にはないとする．また，正の実数$a,\ b$は$\sqrt{2}a<b<2a$を満たすとし，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=a$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=b$とする．以下の問いに答えなさい．
(1)三角形$\mathrm{OAB}$は鈍角三角形であることを示しなさい．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上（ただし，端点を除く）にそれぞれ点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$があり，三角形$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$は正三角形であるとする．このとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は平行であることを示しなさい．
(1)三角形$\mathrm{OAB}$は鈍角三角形であることを示しなさい．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上（ただし，端点を除く）にそれぞれ点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$があり，三角形$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$は正三角形であるとする．このとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は平行であることを示しなさい．
国立 東京大学 2013年 第2問座標平面上の$3$点
\[ \mathrm{P}(0,\ -\sqrt{2}),\quad \mathrm{Q}(0,\ \sqrt{2}),\quad \mathrm{A}(a,\ \sqrt{a^2+1}) \quad (0 \leqq a \leqq 1) \]
を考える．
(1)$2$つの線分の長さの差$\mathrm{PA}-\mathrm{AQ}$は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を端点とし$\mathrm{A}$を通る半直線と放物線$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{8}x^2$との交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=2$へ下した垂線と直線$y=2$との交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，線分の長さの和
\[ \mathrm{PA}+\mathrm{AB}+\mathrm{BC} \]
は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．
\[ \mathrm{P}(0,\ -\sqrt{2}),\quad \mathrm{Q}(0,\ \sqrt{2}),\quad \mathrm{A}(a,\ \sqrt{a^2+1}) \quad (0 \leqq a \leqq 1) \]
を考える．
(1)$2$つの線分の長さの差$\mathrm{PA}-\mathrm{AQ}$は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を端点とし$\mathrm{A}$を通る半直線と放物線$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{8}x^2$との交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=2$へ下した垂線と直線$y=2$との交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，線分の長さの和
\[ \mathrm{PA}+\mathrm{AB}+\mathrm{BC} \]
は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．