$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)数列$\{a_n\}$は，次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす．


(i) $a_1=0,\quad a_n \leqq 0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$

(ii) $\displaystyle n=\int_{a_n}^{a_{n+1}} \left( x+\frac{1}{2} \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$


$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$のとき，$a_n=[ア]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^7 \log_2 \cos \frac{k\pi}{16}=[イ]$
(3)実数$x,\ y$が，$|x|+|y|=1$を満たしているとき，
\[ |7x-3y|+|5x-11y| \]
の最大値は$[ウ]$である．
(4)関数$f(x)=1-2 |x|$を考える．次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす実数$a$は全部で$[エ]$個ある．

(i) $f(a) \neq a$
(ii) $f(f(f(a)))=a$

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$のとき，次の式の値を求めよ．


(i) $\displaystyle x+\frac{1}{x}=\frac{[$1$]}{[$2$]}$

(ii) $\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{[$3$]}{[$4$]}$

(iii) $\displaystyle \left( x-\frac{1}{2x} \right)^2+\left( \frac{x}{2}-\frac{1}{x} \right)^2=\frac{[$5$]}{[$6$]}$

(2)$|6x-4|<8$の解は$\displaystyle -\frac{[$7$]}{[$8$]}<x<[$9$]$である．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$4$桁の自然数$54 \mkakko{} 4$が$9$の倍数であるとき，$\mkakko{}$に入る数は$[$37$]$である．また，この$4$桁の自然数が$3$の倍数であるとき，$\mkakko{}$に入る最大の数は$[$38$]$である．
(2)$180$の正の約数の個数は$[$39$]$個である．$180$と$80$の最大公約数を$A$，最小公倍数を$B$とすると$A=[$40$]$，$B=A \times [$41$]$である．
(3)$a,\ b$は自然数とする．$a$を$7$で割ると$1$余り，$a^2+b$を$7$で割ると$6$余る．このとき，$b$を$7$で割ると$[$42$]$余る．

正七角形について，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)対角線の本数は$[$11$]$本である．
(2)正七角形の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の個数は$[$12$]$個である．
(3)正七角形の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の中で，正七角形と$2$辺を共有する三角形の個数は$[$13$]$個である．
(4)正七角形の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の中で，正七角形と辺を共有しない三角形の個数は$[$14$]$個である．

三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$，内接円の半径を$r$とする．$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{6}$，$\angle \mathrm{ABC}={45}^\circ$のとき，以下の値を求めよ．

(1)$\mathrm{AC}=[ア]$
(2)$\angle \mathrm{BAC}={[イウ]}^\circ$

(3)$\displaystyle S=\frac{3+\sqrt{[エ]}}{[オ]}$

(4)$\displaystyle r=\frac{1}{2} \left( [カ]+\sqrt{[キ]}-\sqrt{[ク]} \right)$

$3$次関数$f(x)=-4x^3+15x^2+18x+a$は，$\displaystyle x=\frac{[ケコ]}{[サ]}$で極小値，$x=[シ]$で極大値をとる．

また，方程式$f(x)=0$の異なる$3$つの実数解のうち$2$つが負となるような定数$a$の範囲は，$\displaystyle [ス]<a<\frac{[セソ]}{[タ]}$である．

以下の問に答えよ．

(1)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$を原点のまわりに正の向きに$\displaystyle \frac{\pi}{4}$だけ回転した直線の方程式は$y=[チ]x$である．
(2)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 5)$，$\mathrm{B}(3,\ 2)$に対して，直線$y=mx-2m-1$が線分$\mathrm{AB}$（両端を含む）と共有点をもつような定数$m$の範囲は，$m \leqq [ツテ]$，$m \geqq [ト]$である．
(3)$2$点$\mathrm{C}(2,\ 1)$，$\mathrm{D}(5,\ 4)$に対して，$\mathrm{CP}:\mathrm{DP}=1:2$となるような点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡の方程式は，$\displaystyle \left( x-[ナ] \right)^2+\left( y-[ニ] \right)^2=[ヌ]$である．

以下の値を求めよ．

(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+1)=[ネ]n^2+[ノ]n$
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{[ハ]n}{[ヒ]n+1}$
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k 2^{k-1}=\frac{1}{[フ]} \left( {[ヘ]}^n-1 \right)$

$a$を定数とし，次の式で与えられる直線$\ell,\ m,\ n$がある．

$\ell:(a+1)x+(a-2)y-5a+4=0$
$m:y=x$

$\displaystyle n:y=\frac{3}{2}x$

(1)$\ell$と$m$が平行のとき$\displaystyle a=\frac{[タ]}{[チ]}$である．

(2)$\ell$と$n$が垂直のとき$a=-[ツ]$である．
(3)$\ell$は$a$の値によらず定点$([テ],\ [ト])$を通る．

$\mathrm{O}$を原点とし，$2$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$，$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$に関して，$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=4$であるとき，以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ム]}{[メ]} \overrightarrow{a}+\frac{[モ]}{[ヤ]} \overrightarrow{b}$である．