$a$を実数とし，数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$を
\[ \begin{array}{ll}
a_1=a, & a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+1 & (n \text{が奇数のとき}) \\
2a_n & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \\
b_1=a, & b_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
2b_n & (n \text{が奇数のとき}) \\
b_n+1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \phantom{\frac{\frac{[　]^{[　]}}{2}}{2}}
\end{array} \]
で定める．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$，および$b_2,\ b_3,\ b_4$を求めよ．
(2)数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める．$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{S_n\},\ \{T_n\}$，および$\{U_n\}$をそれぞれ
\[ S_n=\sum_{k=1}^{2n}a_k,\quad T_n=\sum_{k=1}^{2n}b_k,\quad U_n=S_n-T_n \]
で定める．

(i) $\{S_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $a=1$のとき，$\{U_n\}$の一般項を求めよ．

$a$を実数とし，数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$を
\[ \begin{array}{ll}
a_1=a, & a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+1 & (n \text{が奇数のとき}) \\
2a_n & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \\
b_1=a, & b_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
2b_n & (n \text{が奇数のとき}) \\
b_n+1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \phantom{\frac{\frac{[　]^{[　]}}{2}}{2}}
\end{array} \]
で定める．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$，および$b_2,\ b_3,\ b_4$を求めよ．
(2)数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める．$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{S_n\},\ \{T_n\}$，および$\{U_n\}$をそれぞれ
\[ S_n=\sum_{k=1}^{2n}a_k,\quad T_n=\sum_{k=1}^{2n}b_k,\quad U_n=S_n-T_n \]
で定める．

(i) $\{S_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $a=1$のとき，$\{U_n\}$の一般項を求めよ．

$a>0$とし，関数$f(x)$を
\[ f(x)=-a \cos x+\frac{1}{2}a^2 \cos 2x \qquad (-\pi<x<\pi) \]
と定める．

(1)$f(x)$の最小値は，$a \leqq [ア]$のとき$[イ]$であり，$a \geqq [ア]$のとき$[ウ]$である．ただし，$[ア]$には数，$[イ]$と$[ウ]$には$a$の多項式を記入すること．
(2)曲線$y=f(x)$が$x$軸と接するのは$a=[エ]$のときである．
(3)$a=[エ]$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[オ]$であり，その部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$[カ]$である．

$a$を定数とする．$x$についての方程式
\[ |(x-4)(x-2)|=ax-5a+\frac{1}{2} \]
が相異なる$4$つの実数解をもつとき，$a$の範囲は，$\displaystyle [ア]+\sqrt{[イ]}<a<\frac{1}{[ウ]}$である．

$x^2+2xy+3y^2=27$を満たす整数の組$(x,\ y)$は$[エ]$組あり，その中で$x-y$の値が最大になる組は，$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$である．

不等式$\log_{x^2+x+1}(2-x)<0$を満たす$x$の範囲は，
\[ [キ]<x<[ク],\quad [ケ]<x<[コ] \]
である．ただし，$[ク] \leqq [ケ]$とする．

座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(\sqrt{3},\ -2)$，$\mathrm{B}(3 \sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{C}(4 \sqrt{3},\ -5)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{D}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．また，直線$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．

数列$a_n$を$\displaystyle a_n=n \left( \frac{81}{100} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$により定義する．

(1)$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}<1$となる$n$の最小値は$[ア]$である．
(2)$\log_{10}a_{11}$を小数第$3$位を四捨五入して得られる値は$[イ]$である．
(3)$a_n<1$をみたす$n$を小さいものから順に$n_1,\ n_2,\ n_3,\ n_4,\ \cdots$とおく．$n_4$は$[ウ]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}1.1=0.0414$であることを利用してよい．

$\theta$のとる値の範囲が$\displaystyle \frac{\pi}{12} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$である関数
\[ y=\frac{4}{1+\tan^2 \theta}+2 \sin^2 \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta \]
を考える．

(1)$y$の最大値は$[エ]$となり，そのとき$\theta$の値は$[オ]$である．
(2)$y$の最小値は$[カ]$となり，そのとき$\theta$の値は$[キ]$である．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)不等式
\[ \log_2 (5-2x)+2 \log_{\frac{1}{2}} (x+2) \leqq 0 \]
をみたす$x$の範囲は$[あ]$である．
(2)$2$つの関数
\[ f(x)=|\displaystyle x^2+3bx-\frac{b|{4}},\quad g(x)=x^2+3b |x|-\frac{b}{4} \]
の最小値が一致するような$b$の範囲は$[い]$である．
(3)$\displaystyle 0 \leqq \alpha <\frac{\pi}{2}$のとき，関数
\[ f(x)=\sin (x-\alpha) \cos x \quad \left( \alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
は$x=[う]$において最大値をとる．この最大値が$\displaystyle \frac{1}{4}$となるのは$\alpha=[え]$のときである．