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私立 広島女学院大学 2016年 第5問$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる各位の数字がすべて異なる$5$桁の整数の集合を$U$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)集合$U$の要素の個数は$[$9$]$である．
(2)$U$の中で最も小さい整数は$[$10$]$であり，最も大きい整数は$[$11$]$である．
(3)$U$の要素で，小さい方から数えて$30$番目の整数は$[$12$]$である．
(4)$34201$は小さい方から数えて$[$13$]$番目の整数である．
(1)集合$U$の要素の個数は$[$9$]$である．
(2)$U$の中で最も小さい整数は$[$10$]$であり，最も大きい整数は$[$11$]$である．
(3)$U$の要素で，小さい方から数えて$30$番目の整数は$[$12$]$である．
(4)$34201$は小さい方から数えて$[$13$]$番目の整数である．
私立 金沢工業大学 2016年 第2問関数$y=7 \sin^2 \theta+3 \cos 2 \theta+6 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$を考える．
(1)$\cos \theta=t$とおくと，$t$の値の範囲は$[アイ] \leqq t \leqq [ウ]$である．
(2)$y$は$t$の$2$次関数として，
\[ y=-t^2+[エ]t+[オ] \quad ([アイ] \leqq t \leqq [ウ]) \]
と表される．
(3)$y$は$\theta=[カ]$で最大値$[キ]$をとり，$\theta=[ク]$で最小値$[ケコ]$をとる．
(1)$\cos \theta=t$とおくと，$t$の値の範囲は$[アイ] \leqq t \leqq [ウ]$である．
(2)$y$は$t$の$2$次関数として，
\[ y=-t^2+[エ]t+[オ] \quad ([アイ] \leqq t \leqq [ウ]) \]
と表される．
(3)$y$は$\theta=[カ]$で最大値$[キ]$をとり，$\theta=[ク]$で最小値$[ケコ]$をとる．
私立 東京薬科大学 2016年 第1問次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$x^2+5x+1=0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である．
(3)点$(4,\ 2)$を通り，傾きが$m$の直線$\ell$が，円$C:x^2+y^2=4$に接するとき，$\displaystyle m=[ケ]$，$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$，容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている．今，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し，$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ，$2$つの容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった．このとき，容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である．ただし，質量パーセント濃度とは溶液（本問の場合，食塩水）の質量に対する溶質（本問の場合，食塩）の質量の割合を百分率（$\%$）で表したものである．
(1)$x^2+5x+1=0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である．
(3)点$(4,\ 2)$を通り，傾きが$m$の直線$\ell$が，円$C:x^2+y^2=4$に接するとき，$\displaystyle m=[ケ]$，$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$，容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている．今，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し，$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ，$2$つの容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった．このとき，容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である．ただし，質量パーセント濃度とは溶液（本問の場合，食塩水）の質量に対する溶質（本問の場合，食塩）の質量の割合を百分率（$\%$）で表したものである．
私立 東京経済大学 2016年 第4問関数$f(x)=x^3+ax^2-bx+c$は，$x=1$のとき極小値$2$をとり，$x=-3$のとき極大値をとる．このとき，$a=[ナ]$，$b=[ニ]$，$c=[ヌ]$であり，極大値は$[ネ][ノ]$である．
私立 東京経済大学 2016年 第5問$3$個のさいころを投げるとする．$1$個のさいころの目が$6$で，残り$2$個のさいころの目がいずれも$5$となる確率は，$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ][フ]}$である．また，$2$個のさいころの目が同じで，残りのさいころの目がそれとは異なる場合の確率は，$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ][マ]}$である．ただし，$3$個のさいころのそれぞれの目が出る確率は，いずれも等しいとする．
私立 東京薬科大学 2016年 第4問$2$つの動点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は，一辺の長さが$1$の立方体の辺上を，毎秒$1$の速さで，次の規則にしたがって移動する．
\mon[$\lbrack$規則$1 \rbrack$] 最初は同じ頂点にあり，同時に移動を開始する．
\mon[$\lbrack$規則$2 \rbrack$] どの頂点からも，$1$秒で移動可能な$3$つの頂点のいずれかに確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で移動する．
自然数$n$について，移動を開始してから$n$秒後における$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$間の距離が$\sqrt{2}$となる確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ヘ]}{[ホ]},\ P_2=\frac{[マミ]}{[ムメ]}$である．
(2)$P_n$と$P_{n+1}$の関係は
\[ P_{n+1}=\frac{[モ]}{[ヤ]} P_n+\frac{[ユ]}{[ヨ]} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
である．
(3)$\displaystyle P_n=\frac{[ラ]}{[リ]} \left( 1-\frac{[ル]}{{[レ]}^n} \right) (n=1,\ 2,\ \cdots)$である．
\mon[$\lbrack$規則$1 \rbrack$] 最初は同じ頂点にあり，同時に移動を開始する．
\mon[$\lbrack$規則$2 \rbrack$] どの頂点からも，$1$秒で移動可能な$3$つの頂点のいずれかに確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で移動する．
自然数$n$について，移動を開始してから$n$秒後における$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$間の距離が$\sqrt{2}$となる確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ヘ]}{[ホ]},\ P_2=\frac{[マミ]}{[ムメ]}$である．
(2)$P_n$と$P_{n+1}$の関係は
\[ P_{n+1}=\frac{[モ]}{[ヤ]} P_n+\frac{[ユ]}{[ヨ]} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
である．
(3)$\displaystyle P_n=\frac{[ラ]}{[リ]} \left( 1-\frac{[ル]}{{[レ]}^n} \right) (n=1,\ 2,\ \cdots)$である．
私立 東京薬科大学 2016年 第5問$x$の関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
ax & (x \leqq 1) \\
(4-a)x+2(a-2) & (1<x) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定義する．ただし，$a$は$0<a<1$を満たす実数である．
(1)$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$の共有点の個数は$[ロ]$である．このうち，$a$の値によらない共有点の座標は，$([ワ],\ [ヲ])$，$([ン],\ [あ])$である．ただし，$[ワ]<[ン]$とする．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$によって囲まれる図形の面積の総和を$S(a)$とすると，
\[ S(a)=\frac{[い]}{[う]}a^3-a+\frac{[え]}{[お]} \]
である．
(3)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{\sqrt{[か]}}{[き]}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[く]-\sqrt{[け]}}{[こ]}$をとる．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
ax & (x \leqq 1) \\
(4-a)x+2(a-2) & (1<x) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定義する．ただし，$a$は$0<a<1$を満たす実数である．
(1)$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$の共有点の個数は$[ロ]$である．このうち，$a$の値によらない共有点の座標は，$([ワ],\ [ヲ])$，$([ン],\ [あ])$である．ただし，$[ワ]<[ン]$とする．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$によって囲まれる図形の面積の総和を$S(a)$とすると，
\[ S(a)=\frac{[い]}{[う]}a^3-a+\frac{[え]}{[お]} \]
である．
(3)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{\sqrt{[か]}}{[き]}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[く]-\sqrt{[け]}}{[こ]}$をとる．
私立 埼玉工業大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまるものを記入せよ．
(1)整式$P(x)$を$(x+1)^3$で割ったときの余りが$x^2-x+1$のとき，$P(x)$を$(x+1)^2$で割った余りは，$[アイ]x$である．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ \left( \frac{1}{2} \right)^n+\left( \frac{1}{3} \right)^n \right\}$の和は，$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)正の整数$a,\ b$について，$a$を$5$で割ると余りが$2$，$b$を$5$で割ると余りが$3$である．積$ab$を$5$で割ったとき，余りは$[オ]$となる．
(4)$3$つの数$4,\ a,\ b$は，この順に等差数列をなし，$a,\ b,\ 4$は，この順に等比数列をなす．このとき$a=[カ]$，$b=[キク]$である．ただし，$a$と$b$は等しくないとする．
(1)整式$P(x)$を$(x+1)^3$で割ったときの余りが$x^2-x+1$のとき，$P(x)$を$(x+1)^2$で割った余りは，$[アイ]x$である．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ \left( \frac{1}{2} \right)^n+\left( \frac{1}{3} \right)^n \right\}$の和は，$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)正の整数$a,\ b$について，$a$を$5$で割ると余りが$2$，$b$を$5$で割ると余りが$3$である．積$ab$を$5$で割ったとき，余りは$[オ]$となる．
(4)$3$つの数$4,\ a,\ b$は，この順に等差数列をなし，$a,\ b,\ 4$は，この順に等比数列をなす．このとき$a=[カ]$，$b=[キク]$である．ただし，$a$と$b$は等しくないとする．
私立 埼玉工業大学 2016年 第4問次の問いに答えよ．
(1)赤玉$6$個と白玉$4$個が入っている袋から，同時に$2$個の玉を取り出す．このとき，赤玉$2$個を取り出す確率は，$\displaystyle \frac{1}{[ユ]}$である．また，白玉$2$個を取り出す確率は，$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラリ]}$である．
(2)赤玉$4$個と白玉$2$個を袋$\mathrm{A}$，赤玉$2$個と白玉$2$個を袋$\mathrm{B}$それぞれ別の袋に入れ，おのおのの袋から$1$個の玉を取り出す．このとき，両方が赤玉である確率は，$\displaystyle \frac{1}{[ル]}$である．また，両方が白玉である確率は，$\displaystyle \frac{1}{[レ]}$である．
(3)赤玉$6$個と白玉$4$個が入っている袋に，新たに青玉$3$個を加え，同時に$2$個の玉を取り出す．このとき，それらが同じ色である確率は，$\displaystyle \frac{[ロ]}{[ワン]}$である．
(1)赤玉$6$個と白玉$4$個が入っている袋から，同時に$2$個の玉を取り出す．このとき，赤玉$2$個を取り出す確率は，$\displaystyle \frac{1}{[ユ]}$である．また，白玉$2$個を取り出す確率は，$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラリ]}$である．
(2)赤玉$4$個と白玉$2$個を袋$\mathrm{A}$，赤玉$2$個と白玉$2$個を袋$\mathrm{B}$それぞれ別の袋に入れ，おのおのの袋から$1$個の玉を取り出す．このとき，両方が赤玉である確率は，$\displaystyle \frac{1}{[ル]}$である．また，両方が白玉である確率は，$\displaystyle \frac{1}{[レ]}$である．
(3)赤玉$6$個と白玉$4$個が入っている袋に，新たに青玉$3$個を加え，同時に$2$個の玉を取り出す．このとき，それらが同じ色である確率は，$\displaystyle \frac{[ロ]}{[ワン]}$である．
私立 東洋大学 2016年 第1問次の各問に答えよ．
(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると，
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる．
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき，$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で，そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である．
(4)$k$を定数とするとき，方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である．
(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると，
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる．
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき，$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で，そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である．
(4)$k$を定数とするとき，方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である．