次の空欄$[ア]$～$[カ]$を適当に補え．

(1)円$x^2+y^2=3$と直線$x-y+k=0$が異なる$2$点で交わるとき，定数$k$の値の範囲は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，方程式$\cos 2x=5 \sin x-2$を解くと$x=[イ]$である．
(3)$t$を実数とする．$x$の$2$次関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-2tx+t$の最小値を$k$とする．$k$を最大にする$t$の値は$t=[ウ]$であり，そのときの$k$の値は$k=[エ]$である．
(4)$f(x)=x^3+3x^2$，$g(x)=2x^2$とする．$y=g(x)$のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$2$平行移動して得られるグラフの方程式を，$y=h(x)$とする．このとき，$y=h(x)$のグラフと$y=f(x)$のグラフの交点のうち，$x$座標の最も大きいものは$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$である．

次の空欄$[$\mathrm{(a)]$}$～$[$\mathrm{(g)]$}$を適当に補え．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},\ y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$のとき，$x+y$の値は$[$\mathrm{(a)]$}$である．
(2)$2$次方程式$2x^2+3x+k=0$において，$2$つの解の比が$1:2$であるとき，定数$k$の値は$[$\mathrm{(b)]$}$である．
(3)${64}^{1.5} \times {32}^{-0.4}=[$\mathrm{(c)]$}$である．
(4)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2 \sqrt{2}$を満たすとき，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=[$\mathrm{(d)]$}$である．
(5)$\displaystyle \left( 2x-\frac{1}{4} \right)^{10}$の展開式における$x^6$の係数は$[$\mathrm{(e)]$}$である．
(6)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$y=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta+2$の最小値は$[$\mathrm{(f)]$}$であり，そのときの$\theta$の値は$[$\mathrm{(g)]$}$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)曲線$y=x^2+2x$と$x$軸とで囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

(2)直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[　]}{[　]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[　]}{[　]}$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{[　]}{[　]}$である．

(3)次の計算をせよ．


(i) $\displaystyle \frac{1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{[　]}-[　]$

(ii) $\displaystyle \frac{1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{[　]}-[　]}{[　]}$

(iii) $\displaystyle \frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}}=[　]-\sqrt{[　]}+\sqrt{[　]}$


(4)$x \neq 0$とするとき，$\displaystyle k=x+\frac{1}{x}$のとり得る値の範囲は，$k \leqq [　]$，または$k \geqq [　]$である．

次の$[　]$に適する答を記入せよ．

(1)等式$xy+3x-y-3=5$を満たす自然数$x,\ y$は$x=[　]$，$y=[　]$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に$2$点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\mathrm{B}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta) (0 \leqq \theta \leqq \pi)$がある．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になるのは$\theta=[　]$のときであり，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$となるのは$\theta=[　]$のときである．
(3)$a,\ b$を実数の定数とする．方程式$x^3+ax+b=0$の$1$つの解が$1+\sqrt{2}i$であるとき，$a=[　]$である．また，この方程式の実数解は$[　]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めよ．

$0<p<2$をみたす実数$p$に対して，頂点が$(p,\ -p^2)$で点$(2,\ 0)$を通り軸が$y$軸に平行な放物線がある．

(1)この放物線の方程式を$p$を使って表すと$y=[　]$となる．
(2)この放物線と$x$軸で囲まれる領域の面積を$p$を用いて表すと$[　]$である．
(3)この放物線と$x$軸で囲まれる領域の面積が最大になるときの$p$の値は$[　]$であり，そのときの面積は$[　]$である．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めよ．

(1)$x+y=\sqrt{3}$，$x^2+y^2=5$のとき，$x^3+y^3$は$[　]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x^2}+\frac{x}{y^2}$は$[　]$である．
(2)次の問いに答えよ．

(i) $\sin 1$，$\sin 2$，$\sin 3$，$\sin 4$のなかで，負となるものは$[　]$である．また，正となるものの最小値は$[　]$であり，最大値は$[　]$である．
(ii) $A,\ B (A \neq B)$がいずれも鋭角のとき，次の$3$つの数の最小値は$[　]$，最大値は$[　]$である．
\[ \sin \frac{A+B}{2},\quad \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2},\quad \frac{\sin A+\sin B}{2} \]

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めよ．

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の$2$つの対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}}$をみたすとき，

(i) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$

である．
(2)$1$回のろ過で溶液の不純物を$20 \, \%$除去できるろ過装置で，不純物を含む溶液をろ過したい．

(i) $n$回ろ過したときの不純物は元の不純物の$[　] \, \%$である．
(ii) この装置を使って不純物の$95 \, \%$以上を除去するには最低限$[　]$回のろ過操作が必要である．$\log_{10}2=0.3010$とする．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めよ．

(1)次の条件をみたす$3$つの実数$x,\ y,\ z$がある．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x \leqq y \leqq z \\
x+y+z=6 \\
z-x=2
\end{array} \right. \]

(i) $x$の取りうる値の範囲は$[　]$である．
(ii) 積$xyz$を$x$の式で表すと$[　]$である．
(iii) 積$xyz$の取りうる値の範囲は$[　]$である．

(2)$1$個のさいころを連続して$3$回投げ，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．

(i) $a=b+c$をみたす確率は$[　]$である．
(ii) $4a=b+c$をみたす確率は$[　]$である．
(iii) $a>b+c$をみたす確率は$[　]$である．

以下の空欄をうめよ．

(1)2つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2),\ \overrightarrow{b}=(1,\ 3)$について，$|2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2$は$t=[　]$のとき最小値$[　]$をとる．
(2)零ベクトルでない2つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$について，$|2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2$は$t=[　]$のとき最小値$[　]$をとる．

$(1)$の問いに答えよ．また，$(2)$から$(6)$までの空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(i) $\displaystyle \int_1^e x \log x \, dx=[　]$
(ii) $\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \, dx=[　]$

(2)$y=\sqrt[5]{2x-1}$のとき，$\displaystyle \frac{dy}{dx}=[　]$である．
(3)方程式$2^{x^2-1}4^{x+2}=8^{x+3}$の解は$x=[　]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[　]$である．
(5)2直線$y=3x$と$\displaystyle y=\frac{x}{3}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=[　]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(6)座標平面上で次の連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
|x|+|y| \leqq 2 \\
x^2+y^2 \geqq 2
\end{array}
\right. \]
の表す領域の面積は[　]である．