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私立 東北医科薬科大学 2010年 第3問初項$2$，公差$4$の等差数列$a_n$を
\[ \begin{array}{cccccc}
a_1 & a_2 & a_4 & a_7 & a_{11} & \cdots \\
a_3 & a_5 & a_8 & a_{12} & \cdots & \cdots \\
a_6 & a_9 & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{10} & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{array} \]
とならべて，これを
\[ \begin{array}{cccccc}
b(1,\ 1) & b(1,\ 2) & b(1,\ 3) & b(1,\ 4) & b(1,\ 5) & \cdots \\
b(2,\ 1) & b(2,\ 2) & b(2,\ 3) & b(2,\ 4) & \cdots & \cdots \\
b(3,\ 1) & b(3,\ 2) & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots \\
b(4,\ 1) & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{array} \]
と表す．例えば$a_1=b(1,\ 1)$である．このとき，次の問に答えなさい．
(1)このとき，$b(1,\ 2)=[ア]$である．
(2)$1$行目の$l$番目の数は$b(1,\ l)=[イ]l^2-[ウ]l+[エ]$である．
(3)$1$行目の$1$番目の数から$1$行目の$k$番目の数までの和は
\[ \sum_{l=1}^k b(1,\ l)=\frac{[オ]k \left( k^{[カ]}+[キ] \right)}{[ク]} \]
である．
(4)$k$行目の$l$番目の数は
\[ b(k,\ l)=[ケ]k^2+[コ]l^2+[サ]kl-[シ]k-[ス]l+[セ] \]
である．
(5)$1$行目から$n$行目までの$1$番目の数から$n$番目の数までの和を$S(n)$とおく．このとき，$S(2)$は
\[ \begin{array}{cc}
b(1,\ 1) & b(1,\ 2) \\
b(2,\ 1) & b(2,\ 2) \\
\end{array} \]
の和なので$S(2)=[ソタ]$である．また，$\displaystyle S(k)=\frac{k^{[チ]} ([ツ]k^2-[テ])}{[ト]}$である．
\[ \begin{array}{cccccc}
a_1 & a_2 & a_4 & a_7 & a_{11} & \cdots \\
a_3 & a_5 & a_8 & a_{12} & \cdots & \cdots \\
a_6 & a_9 & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{10} & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{array} \]
とならべて，これを
\[ \begin{array}{cccccc}
b(1,\ 1) & b(1,\ 2) & b(1,\ 3) & b(1,\ 4) & b(1,\ 5) & \cdots \\
b(2,\ 1) & b(2,\ 2) & b(2,\ 3) & b(2,\ 4) & \cdots & \cdots \\
b(3,\ 1) & b(3,\ 2) & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots \\
b(4,\ 1) & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{array} \]
と表す．例えば$a_1=b(1,\ 1)$である．このとき，次の問に答えなさい．
(1)このとき，$b(1,\ 2)=[ア]$である．
(2)$1$行目の$l$番目の数は$b(1,\ l)=[イ]l^2-[ウ]l+[エ]$である．
(3)$1$行目の$1$番目の数から$1$行目の$k$番目の数までの和は
\[ \sum_{l=1}^k b(1,\ l)=\frac{[オ]k \left( k^{[カ]}+[キ] \right)}{[ク]} \]
である．
(4)$k$行目の$l$番目の数は
\[ b(k,\ l)=[ケ]k^2+[コ]l^2+[サ]kl-[シ]k-[ス]l+[セ] \]
である．
(5)$1$行目から$n$行目までの$1$番目の数から$n$番目の数までの和を$S(n)$とおく．このとき，$S(2)$は
\[ \begin{array}{cc}
b(1,\ 1) & b(1,\ 2) \\
b(2,\ 1) & b(2,\ 2) \\
\end{array} \]
の和なので$S(2)=[ソタ]$である．また，$\displaystyle S(k)=\frac{k^{[チ]} ([ツ]k^2-[テ])}{[ト]}$である．
私立 獨協医科大学 2010年 第3問$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{c}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
である．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\displaystyle \mathrm{OG}:\mathrm{OD}=1:\frac{[ ]}{[ ]}$である．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{c}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
である．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\displaystyle \mathrm{OG}:\mathrm{OD}=1:\frac{[ ]}{[ ]}$である．
私立 獨協医科大学 2010年 第4問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の動点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(x,\ y)$が，時刻$t$の関数として，$x=e^{-2t} \cos 2\pi t$，$y=e^{-2t} \sin 2\pi t$で表されている．
(1)点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$の大きさは，$|\overrightarrow{v}|=[ ] \sqrt{[ ]+\pi^2}e^{-2t}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]+\pi^2}}$であり，これは時刻$t$によらない一定値である．
(3)$n$を自然数として，$t=n-1$から$t=n$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$S_n$は，
\[ S_n=\sqrt{[ ]+\pi^2} \left( e^{[ ]}-[ ] \right) e^{-2n} \]
である．また，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sqrt{[ ]+\pi^2}$である．
(4)$t=0$から$\displaystyle t=\frac{1}{4}$までの間に点$\mathrm{P}$がえがく曲線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる図形の面積$I$は，$\displaystyle I=\int_a^b y \, dx=\int_{\frac{1}{4}}^0 y \frac{dx}{dt} \, dt$で求められる．このとき$a=[ ]$，$b=[ ]$で，$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{4}} e^{-4t} \{ \sin [$*$] \pi t+\pi (1-\cos [$*$] \pi t) \} \, dt$である．
(1)点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$の大きさは，$|\overrightarrow{v}|=[ ] \sqrt{[ ]+\pi^2}e^{-2t}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]+\pi^2}}$であり，これは時刻$t$によらない一定値である．
(3)$n$を自然数として，$t=n-1$から$t=n$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$S_n$は，
\[ S_n=\sqrt{[ ]+\pi^2} \left( e^{[ ]}-[ ] \right) e^{-2n} \]
である．また，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sqrt{[ ]+\pi^2}$である．
(4)$t=0$から$\displaystyle t=\frac{1}{4}$までの間に点$\mathrm{P}$がえがく曲線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる図形の面積$I$は，$\displaystyle I=\int_a^b y \, dx=\int_{\frac{1}{4}}^0 y \frac{dx}{dt} \, dt$で求められる．このとき$a=[ ]$，$b=[ ]$で，$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{4}} e^{-4t} \{ \sin [$*$] \pi t+\pi (1-\cos [$*$] \pi t) \} \, dt$である．
私立 獨協医科大学 2010年 第5問座標平面上の点の移動について考える．
(1)直線$y=ax$に関する対称移動の$1$次変換$g$を表す行列は
\[ \frac{1}{[ ]+a^2} \left( \begin{array}{cc}
[$*$]-a^2 \phantom{\frac{1}{2}} & [$**$]a \\
[$**$]a \phantom{\frac{1}{2}} & -([$*$]-a^2)
\end{array} \right) \]
である．
(2)$x$軸に関する対称移動の$1$次変換$h$を表す行列は$\left( \begin{array}{cc}
[ ] & 0 \\
0 & [ ]
\end{array} \right)$である．
(3)原点のまわりに角$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転する$1$次変換を$f$とするとき，$f=g \circ h$ならば，$\displaystyle a=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]}}$である．ここで，$g$と$h$はそれぞれ$(1)$，$(2)$の$1$次変換である．
(1)直線$y=ax$に関する対称移動の$1$次変換$g$を表す行列は
\[ \frac{1}{[ ]+a^2} \left( \begin{array}{cc}
[$*$]-a^2 \phantom{\frac{1}{2}} & [$**$]a \\
[$**$]a \phantom{\frac{1}{2}} & -([$*$]-a^2)
\end{array} \right) \]
である．
(2)$x$軸に関する対称移動の$1$次変換$h$を表す行列は$\left( \begin{array}{cc}
[ ] & 0 \\
0 & [ ]
\end{array} \right)$である．
(3)原点のまわりに角$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転する$1$次変換を$f$とするとき，$f=g \circ h$ならば，$\displaystyle a=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]}}$である．ここで，$g$と$h$はそれぞれ$(1)$，$(2)$の$1$次変換である．
私立 星薬科大学 2010年 第6問数列$\{a_n\},\ \{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
$\displaystyle \{a_n\}:\frac{4}{1 \cdot 2},\ \frac{4}{2 \cdot 3},\ \frac{4}{3 \cdot 4},\ \frac{4}{4 \cdot 5},\ \cdots$
$\displaystyle \{b_n\}:\frac{9}{1 \cdot 2 \cdot 3},\ \frac{16}{2 \cdot 3 \cdot 4},\ \frac{23}{3 \cdot 4 \cdot 5},\ \frac{30}{4 \cdot 5 \cdot 6},\ \cdots$
として次の問いに答えよ．
(1)各数列の一般項は$\displaystyle a_n=\frac{4}{n(n+1)},\ b_n=\frac{[ ] n+[ ]}{n(n+1)(n+2)}$である．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k,\ T_n=\sum_{k=1}^n b_k$とすると，
\[ S_n=\frac{[ ] n}{n+1},\quad T_n=\frac{[ ] n^2+[ ] n}{(n+1)(n+2)} \]
である．
(3)$\displaystyle S_n-T_n<\frac{1}{4}$を満たす自然数$n$の最小値は$[ ]$である．
$\displaystyle \{a_n\}:\frac{4}{1 \cdot 2},\ \frac{4}{2 \cdot 3},\ \frac{4}{3 \cdot 4},\ \frac{4}{4 \cdot 5},\ \cdots$
$\displaystyle \{b_n\}:\frac{9}{1 \cdot 2 \cdot 3},\ \frac{16}{2 \cdot 3 \cdot 4},\ \frac{23}{3 \cdot 4 \cdot 5},\ \frac{30}{4 \cdot 5 \cdot 6},\ \cdots$
として次の問いに答えよ．
(1)各数列の一般項は$\displaystyle a_n=\frac{4}{n(n+1)},\ b_n=\frac{[ ] n+[ ]}{n(n+1)(n+2)}$である．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k,\ T_n=\sum_{k=1}^n b_k$とすると，
\[ S_n=\frac{[ ] n}{n+1},\quad T_n=\frac{[ ] n^2+[ ] n}{(n+1)(n+2)} \]
である．
(3)$\displaystyle S_n-T_n<\frac{1}{4}$を満たす自然数$n$の最小値は$[ ]$である．
私立 関西大学 2010年 第1問$6$つの面のうち，$3$つの面には$1$と書かれ，$2$つの面には$-1$と書かれ，$1$つの面には$0$と書かれたサイコロがある．このサイコロを$3$回投げたとき，出る数について次の$[ ]$をうめよ．
(1)それらの数の積が$0$になる確率は$[$1$]$である．
(2)それらの数の和が$0$になる確率は$[$2$]$である．
(3)それらの数の積が正の数になる確率は$[$3$]$である．
(4)それらの数の和が正の数になる確率は$[$4$]$である．
(5)それらの数の積の期待値は$[$5$]$である．
(1)それらの数の積が$0$になる確率は$[$1$]$である．
(2)それらの数の和が$0$になる確率は$[$2$]$である．
(3)それらの数の積が正の数になる確率は$[$3$]$である．
(4)それらの数の和が正の数になる確率は$[$4$]$である．
(5)それらの数の積の期待値は$[$5$]$である．
私立 関西大学 2010年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とする．いま，$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{AP}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{Q}$を通る直線が線分$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{R}$とする．次の$[ ]$を数値でうめよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=[$1$] \overrightarrow{a}+[$2$] \overrightarrow{b}$である．
(2)$10 \overrightarrow{\mathrm{QA}}+m \overrightarrow{\mathrm{QB}}+n \overrightarrow{\mathrm{QC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成立するならば$m=[$3$]$，$n=[$4$]$である．
(3)$\mathrm{AC}:\mathrm{AR}=1:[$5$]$であり，$\mathrm{BR}:\mathrm{BQ}=1:[$6$]$である．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=[$1$] \overrightarrow{a}+[$2$] \overrightarrow{b}$である．
(2)$10 \overrightarrow{\mathrm{QA}}+m \overrightarrow{\mathrm{QB}}+n \overrightarrow{\mathrm{QC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成立するならば$m=[$3$]$，$n=[$4$]$である．
(3)$\mathrm{AC}:\mathrm{AR}=1:[$5$]$であり，$\mathrm{BR}:\mathrm{BQ}=1:[$6$]$である．
私立 聖マリアンナ医科大学 2010年 第2問$p \neq 0$として，$xy$座標平面上の直線$\ell$を$\ell:y=mx+p$，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする．このとき下記の問いに答えなさい．
(1)$f$により，直線$\ell$上の各点がすべて直線$\ell$上の点に移る場合，$c,\ d$を$m,\ a,\ b$を用いて表すと，$c=[$1$]$，$d=[$2$]$となる．
(2)上問$(1)$で$m=-1$，$a=2$，$b \neq 1$とする．$f$により，直線$\ell$上の点$\mathrm{R}$が$\mathrm{R}$自身に移るとき，$\mathrm{R}$の座標を$b,\ p$を用いて表すと，$\mathrm{R}=([$3$],\ [$4$])$となる．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする．このとき下記の問いに答えなさい．
(1)$f$により，直線$\ell$上の各点がすべて直線$\ell$上の点に移る場合，$c,\ d$を$m,\ a,\ b$を用いて表すと，$c=[$1$]$，$d=[$2$]$となる．
(2)上問$(1)$で$m=-1$，$a=2$，$b \neq 1$とする．$f$により，直線$\ell$上の点$\mathrm{R}$が$\mathrm{R}$自身に移るとき，$\mathrm{R}$の座標を$b,\ p$を用いて表すと，$\mathrm{R}=([$3$],\ [$4$])$となる．
私立 関西大学 2010年 第2問平面上の四角形$\mathrm{OABC}$について，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \mathrm{OC}=\frac{\sqrt{7}}{3}$および$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立っているとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の$[ ]$をうめよ．
$\mathrm{CB}=[$1$]$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[$2$]$であり，$\angle \mathrm{AOB}$は$[$3$]$度である．
$t>0$とし，直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t \overrightarrow{\mathrm{OA}}$となるようにとる．このとき，線分$\mathrm{OB}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{P}$とおくと，$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$4$] \overrightarrow{b}$と書ける．
$\triangle \mathrm{OPD}$の重心$\mathrm{G}$が$\triangle \mathrm{OAB}$の内部または周上にあるような$t$の範囲は$0<t \leqq [$5$]$である．また，$\triangle \mathrm{OPD}$の外心を$\mathrm{R}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}-[$6$] \overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{a}$が垂直であり，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}-[$6$] \overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{b}$も垂直であることから，$\displaystyle t=\frac{1}{3}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=[$7$] \overrightarrow{a}+[$8$] \overrightarrow{b}$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|=[$9$]$である．
$\mathrm{CB}=[$1$]$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[$2$]$であり，$\angle \mathrm{AOB}$は$[$3$]$度である．
$t>0$とし，直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t \overrightarrow{\mathrm{OA}}$となるようにとる．このとき，線分$\mathrm{OB}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{P}$とおくと，$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$4$] \overrightarrow{b}$と書ける．
$\triangle \mathrm{OPD}$の重心$\mathrm{G}$が$\triangle \mathrm{OAB}$の内部または周上にあるような$t$の範囲は$0<t \leqq [$5$]$である．また，$\triangle \mathrm{OPD}$の外心を$\mathrm{R}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}-[$6$] \overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{a}$が垂直であり，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}-[$6$] \overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{b}$も垂直であることから，$\displaystyle t=\frac{1}{3}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=[$7$] \overrightarrow{a}+[$8$] \overrightarrow{b}$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|=[$9$]$である．
私立 関西大学 2010年 第4問次の$[ ]$をうめよ．
(1)$x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha^2+\beta^2=[$1$]$であり，さらに$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=[$2$]$である．
(2)$xy$平面上の$3$点$(1,\ 2)$，$(2,\ 4)$，$(3,\ 1)$にあと$1$点$\mathrm{A}$を加えることにより，それらが平行四辺形の$4$つの頂点になるとする．このとき，$\mathrm{A}$の$y$座標をすべて求めると$[$3$]$である．
(3)$n$は自然数とする．$(x+y+1)^n$を展開したとき，$xy$の項の係数は$90$であった．このときの$n$の値は$[$4$]$である．
(4)$-1<x$において，関数$f(x)$は
\[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1} \]
で定義されている．$f(x)$を求めると，ある値$\alpha$で$f(x)$が連続にならないことがわかる．このとき$f(\alpha)$と等しい値をとるもうひとつの$x$は$[$5$]$である．
(5)$i=\sqrt{-1}$とする．複素数$\alpha=1+\sqrt{3}i$に対して，$\displaystyle \frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3}$の値は$[$6$]$である．
(6)$0<x \leqq \pi$とする．方程式
\[ \sin 3x+\sin x=\cos x \]
の解$x$をすべて求めると$[$7$]$である．
(1)$x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha^2+\beta^2=[$1$]$であり，さらに$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=[$2$]$である．
(2)$xy$平面上の$3$点$(1,\ 2)$，$(2,\ 4)$，$(3,\ 1)$にあと$1$点$\mathrm{A}$を加えることにより，それらが平行四辺形の$4$つの頂点になるとする．このとき，$\mathrm{A}$の$y$座標をすべて求めると$[$3$]$である．
(3)$n$は自然数とする．$(x+y+1)^n$を展開したとき，$xy$の項の係数は$90$であった．このときの$n$の値は$[$4$]$である．
(4)$-1<x$において，関数$f(x)$は
\[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1} \]
で定義されている．$f(x)$を求めると，ある値$\alpha$で$f(x)$が連続にならないことがわかる．このとき$f(\alpha)$と等しい値をとるもうひとつの$x$は$[$5$]$である．
(5)$i=\sqrt{-1}$とする．複素数$\alpha=1+\sqrt{3}i$に対して，$\displaystyle \frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3}$の値は$[$6$]$である．
(6)$0<x \leqq \pi$とする．方程式
\[ \sin 3x+\sin x=\cos x \]
の解$x$をすべて求めると$[$7$]$である．