次の$[　]$に適切な数を入れよ．

(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$に対して，
\[ \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
である．
(2)開発中のある薬品を製造するために，$3$種類の全く別の方式$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が考案された．また，各々の方式で，失敗せず薬品が製造できる確率は，それぞれ，$90 \, \%$，$70 \, \%$，$50 \, \%$である．これらの$3$種類の方式で独立にそれぞれ$1$回ずつ薬品を製造するとき，少なくとも$1$つの方式で失敗せず薬品が製造できる確率は，$[ウ][エ].[オ] \%$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=5a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表されるとき，初項は$\displaystyle a_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，一般項は$\displaystyle a_n=\frac{[ク]^{n-1}}{[ケ]^n}$である．

また，$a_{2016}$の整数部分は$[コ][サ][シ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.30103$とする．
(4)$a,\ b,\ c$を定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(-1)=1$，$f(2)=31$を満たす．さらに$x$の関数$\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-1)f^\prime(t) \, dt$が$x=-2$，$x=1$で極値をとるとする．このとき，$a=[ス]$，$b=[セ]$，$c=[ソ]$であり，$g(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ]}$である．

次の問に答えよ．

(1)関数$y=\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$のグラフ$C_1$は，$y=\log_2 (x+1)$のグラフ$C_2$を原点について対称移動し，$x$軸方向に$[ソ]$だけ平行移動したものであり，$C_1$と$C_2$の交点の座標は
\[ \left( [タ] \pm \sqrt{[チ]},\ \log_2 \left( [ツ] \pm \sqrt{[テ]} \right) \right) \quad \text{（複号同順）} \]
である．また，関数$y=\log_2 (x+1)-\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$は$x=[ト]$のとき，最大値$[ナ]$をとる．
(2)赤球$3$個，青球$2$個，白球$1$個の計$6$個の球を横一列に並べるとき，並べ方は全部で$[ニヌ]$通りある．

次の問に答えよ．

(1)$7^n$が$15$桁の自然数になるとき，整数$n=[ネノ]$である．ただし，$\log_{10}7=0.8451$とする．
(2)$(1)$の$n$に対して，$7^n$の一の位の数字は$[ハ]$である．
(3)$7^{30},\ 7^{60}$の桁数を求めるとき，$\log_{10}7$として$0.8451$のうち一つの数字を見誤ったため，それぞれ桁数は$1$だけ小さいものが得られた．このとき，$0.8451$の小数点以下第$[ヒ]$位の数字を$[フ]$と見誤ったと考えられる．

$k,\ a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の$4$次式$x^4-4x^3+5x^2+kx-8$を因数分解すると
\[ (x^2+ax+4)(x^2+bx+c) \]
となる．このとき，

(1)$c=[ケコ]$である．
(2)$a<b$ならば，$a=[サシ]$，$b=[スセ]$であり，このとき$k=[ソ]$となる．
$a \geqq b$ならば，$a=[スセ]$，$b=[サシ]$であり，このとき$k=[タチツ]$となる．
(3)$(x^2+ax+4)(x^2+bx+c)=0$を満たす正の実数$x$は，$a<b$のときは，$[テ]$であり，$a \geqq b$のときは，
\[ \frac{[ト]+\sqrt{[ナニ]}}{[ヌ]} \]
である．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（$a,\ b,\ c$は定数）がある．

(1)$f(x)$が，$x=-2$と$x=1$で極値をとり，極小値が$-2$であるとき，
\[ a=\frac{[ネ]}{2},\quad b=[ノハ],\quad c=\frac{[ヒ]}{2} \]
となり，極大値は，$\displaystyle \frac{[フヘ]}{2}$である．
(2)$f(x)$が，$x=-1$で極大値$34$をとり，$x=5$で極小値をとるとき，
\[ a=[ホマ],\quad b=[ミムメ],\quad c=[モヤ] \]
となる．

次の各問の$[　]$に当てはまる数を入れよ．

(1)$100$以下の自然数で，$2$と$5$を共に素因数にもち，それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は，$[　]$個である．
同様に$100$以下の自然数で，$2$と$3$を共に素因数にもち，それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は，$[　]$である．
(2)曲線$C:y=x^3-3x+16$を第$1$象限で考える．曲線$C$の接線で，点$(0,\ 0)$を通るものを$\ell$とするとき，$\ell$の傾きは，$[　]$であり，$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は，$[　]$である．
(3)$1$辺の長さが$y$の正方形を$\mathrm{ABCD}$とし，$2$つの対角線の交点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{O}$から垂直に高さが$x$の点$\mathrm{E}$をとり，四角錐$\mathrm{E}$-$\mathrm{ABCD}$を考える．$\mathrm{AE}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，体積が最大となるのは，
\[ x=[　],\quad y=[　] \]
のときである．

次の各問の$[　]$に当てはまる数を入れよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の内点$\mathrm{O}$をとる．$\mathrm{AO}$，$\mathrm{BO}$，$\mathrm{CO}$をそれぞれ辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$までのばしたときの各交点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．ここで，三角形$\triangle \mathrm{ABO}$，$\triangle \mathrm{ACO}$，$\triangle \mathrm{BCO}$の面積が，それぞれ$\triangle \mathrm{ABO}=c$，$\triangle \mathrm{ACO}=b$，$\triangle \mathrm{BCO}=a$とする．

(1)$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell$とする．$\mathrm{A}$から$\ell$への垂線の長さを$6$，$\mathrm{O}$から$\ell$への垂線の長さを$3$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}=[ア]$，$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{ABO}}{\triangle \mathrm{BDO}}=[イ]$である．

(2)上の$(1)$とは異なる三角形$\mathrm{ABC}$について，$a=8$，$b=10$，$c=6$とする．
$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{CDO}}{\triangle \mathrm{BDO}}=\frac{[ウ]}{[エ]}$だから，$\triangle \mathrm{BDO}$の面積は，$[オ]$であり，$\triangle \mathrm{CDO}$の面積は，$[カ]$である．
(3)同様にして，$\displaystyle \triangle \mathrm{CEO}=\frac{[キ][ク]}{[ケ]}$，$\displaystyle \triangle \mathrm{AEO}=\frac{[コ][サ]}{[シ]}$，$\displaystyle \triangle \mathrm{AFO}=\frac{[ス][セ]}{[ソ]}$，$\displaystyle \triangle \mathrm{BFO}=\frac{[タ]}{[チ]}$となり，特に


$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{AFO}}{\triangle \mathrm{BFO}} \cdot \frac{\triangle \mathrm{BDO}}{\triangle \mathrm{CDO}} \cdot \frac{\triangle \mathrm{CEO}}{\triangle \mathrm{AEO}}=[ツ]$

$\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}} \cdot \frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{EO}} \cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{FO}}=\frac{[テ][ト]}{[ナ]}$


である．

曲線$y=\sin x \cos^3 x+x$上の$2$点$(0,\ 0)$，$\displaystyle \left( \frac{5}{4} \pi,\ \frac{5 \pi+1}{4} \right)$における接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式は，


$\ell_1:y=[ア]x,$

$\displaystyle \ell_2:y=\frac{1}{[イ]}x+\frac{1}{[ウ]}+\frac{[エ]}{[オ]} \pi$


であり，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標は，
\[ \left( \frac{[カ] \pi+[キ]}{[クケ]},\ \frac{[コ] \pi+[サ]}{[シ]} \right) \]
である．

$2$次方程式$x^2-kx-2k=3$が実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$k \leqq -[ア]$，$-[イ] \leqq k$である．また，この$2$次方程式の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta (\alpha \geqq \beta)$とするとき，$\alpha,\ \beta$が$\alpha^2+\beta^2=3$を満たすならば，
\[ k=-[ウ],\quad \alpha=\frac{-[エ]+\sqrt{[オ]}}{[カ]} \]
である．

長さ$3$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周上を点$\mathrm{P}$が動いている．$\angle \mathrm{PAB}={15}^\circ$のとき，$\displaystyle \mathrm{BP}=\frac{[キ] \left( \sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]} \right)}{[コ]}$である．また，$\angle \mathrm{PAB}=\theta$とおくとき，$\sqrt{3} \mathrm{AP}+\mathrm{BP}$の値が最大となるのは，$\displaystyle \theta=\frac{[サ]}{[シ]} \pi$のときで，最大値は$[ス]$である．