$x$の$3$次式$f(x)$が等式
\[ 4f(x)-xf^\prime(x)=3x^3-4x^2-6x+4 \]
を満たすとき，次の問に答えよ．

(1)このとき，$f(x)=[$37$]x^3-[$38$]x^2-[$39$]x+[$40$]$である．

(2)曲線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(0,\ [$40$])$で$C$と接する接線を$\ell$とするとき，$\ell$の方程式は$y=-[$41$]x+[$42$]$であり，この$\ell$は，点$(0,\ [$40$])$以外の$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{[$43$]}{[$44$]},\ -\frac{[$45$]}{[$46$]} \right)$において$C$と交わる．

(3)$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$47$]}{[$48$][$49$]}$である．

白玉$4$個と赤玉$2$個がはいっている袋から玉を$1$個取り出す試行を行う．このとき，次の問に答えなさい．

(1)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目にはじめて赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目に$2$個目の赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．
(5)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を繰り返す．赤玉が取り出されたら試行は止める．$k$回目に赤玉が出て止める確率は$\displaystyle P_k=\frac{[サ]}{[シ]} \left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\mkakko{ソ}}$である．
また$\displaystyle S_k=(P_1)^2+(P_2)^2+\cdots +(P_k)^2=\frac{[タ]}{[チ]}-\frac{[ツ]}{[テ]} \left( \frac{[ト]}{[ナ]} \right)^{\mkakko{ニ}}$なので$S_k \geqq 0.19998$をみたす最小の$k$は$[ヌネ]$である．
ただし$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

実数$t$は$0 \leqq t<2\pi$を動くとし，点$\mathrm{P}(2 \cos t,\ 2 \sin t)$，点$\mathrm{Q}(-2 \sin t,\ 2 \cos t)$，点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{3}-1}{2},\ \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とおく．このとき$\mathrm{OP}=[ア]$で，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は$[イ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$が一直線に並ぶのは$\displaystyle t=\frac{[ウ]}{[エ]} \pi$のときである．
(3)三角形$\mathrm{PAQ}$の面積は$\displaystyle S(t)=[オ]-[カ] \sin \left( t+\frac{[キ]}{[ク]} \pi \right)$である．また$S(t)$は$\displaystyle t=\frac{[ケ]}{[コ]} \pi$のとき最大値$[サ]$をとる．

放物線$y=1-4x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$と，この放物線の点$\mathrm{P}$を通る接線を$\ell$とおく．また，直線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$とで囲まれる図形の面積を$S(a)$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a=0$のとき，接線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$の交点の$x$座標は$x=[アイ]$，$[ウ]$である．また，$\displaystyle S(0)=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．

(2)$0 \leqq b$となるような$a$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \leqq a \leqq \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(3)接線$\ell$の方程式は$y=-[シ]ax+[ス]a^2+[セ]$であり，
$\displaystyle S(a)=\frac{[ソタ]}{[チ]} \left( [ツ]a^2+[テ]a+[ト] \right)^{\frac{\mkakko{ナ}}{\mkakko{ニ}}}$となる．
また$S(a)$が最小となるのは$\displaystyle a=\frac{[ヌネ]}{[ノ]}$のときである．

次の$[　]$を適当に補え．$(6)$，$(7)$は選択問題である．

(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．

(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．

(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

$l \geqq 1$を定数とし，座標空間の点$\mathrm{A}$は平面$z=-1$上を，点$\mathrm{B}$は平面$z=1$上を，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=l$をみたしつつ動くとする．ただし$\mathrm{O}$は座標空間の原点である．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$となるように点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を選ぶことができるためには$l \geqq [あ]$であることが必要十分である．また，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から$xy$平面へ垂線を下ろし，それぞれと$xy$平面との交点を$\mathrm{A}^\prime,\ \mathrm{B}^\prime$とするとき，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$かつ$\displaystyle \cos \angle \mathrm{A}^\prime \mathrm{OB}^\prime=\frac{2}{3}$となるように点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を選ぶことができるのは$l=[い]$のときである．
(2)$l=[い]$のとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標を
\[ \mathrm{A}(0,[う],-1),\quad \mathrm{B}([え],[お],1),\quad \mathrm{C}([か],[き],[く]) \]
とすると$\mathrm{OABC}$は正四面体をなす．ただし$[う],\ [え],\ [く]$はいずれも正とする．
また，正四面体$\mathrm{OABC}$を平面$y+3z=t$で切ったときの切り口は$[け]<t<[こ]$のとき四角形となる．その四角形は上底と下底の和が$[さ]$，高さが$[し]$の台形であり，その面積は$t=[す]$のとき最大値$[せ]$をとる．

\begin{mawarikomi}{50mm}{

（図は省略）
}
図のような$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{E}(2,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{G}(0,\ 1,\ 1)$を頂点とする直方体を，平面$x+y+z=a (1<a<3)$で切断したとき，その断面の面積$S$は
\end{mawarikomi}
\[ \frac{\sqrt{[$16$]}}{[$17$]} \left( [$18$][$19$]a^2+[$20$][$21$]a+[$22$][$23$] \right) \]
となる．

また，切断した断面の各頂点と$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を結んでできる角錐の体積$V$は，
\[ a=\frac{[$24$]+\sqrt{[$25$][$26$]}}{[$27$]} \]
のときに最大になる．このとき，
\[ V=\frac{[$28$][$29$]+[$30$][$31$] \sqrt{[$32$][$33$]}}{[$34$][$35$]} \]
である．

条件$a_1=5$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_n+9n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{a_n\}$を考え，$b_n=na_n$とおく．

(1)$b_1=[ア]$，$b_2=[イウ]$である．
(2)$b_{n+1}-b_n=[エ]n(n+1)$である．
(3)$b_{n+1}=[オ]n(n+1)(n+2)+[カ]$である．

(4)$\displaystyle a_n=[キ]n^2-[ク]+\frac{[ケ]}{n}$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 4)$，$\mathrm{B}(6,\ 0)$をとる．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_1$，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{M}$を通り直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とする．

(1)点$\mathrm{M}$の座標は$([コ],\ [サ])$である．
(2)直線$\ell_1$の方程式は$y=-x+[シ]$であり，直線$\ell_2$の方程式は$y=x-[ス]$である．
(3)線分$\mathrm{OB}$の垂直二等分線と直線$\ell_2$との交点の座標は$([セ],\ [ソ])$である．
(4)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の方程式は$x^2+y^2-[タ]x-[チ]y=0$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^2-y^2=[イ]$である．

(2)関数$y=-2x^2+6x-5 (0 \leqq x \leqq 2)$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(3)円$C_1:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と点$\mathrm{A}(3,\ 0)$の中点$\mathrm{Q}$の座標は$[オ]$である．これより，$\mathrm{P}$が$C_1$上をもれなく動くとき，$\mathrm{Q}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_2:y=x^2-2x$と直線$\ell:y=x$がある．$C_2$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり，$C_2$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である．