ある箱に$1$から$5$までの整数のうちひとつが書かれたカードがそれぞれ$1$枚入っている．そこから$1$枚カードをひき，数字を確認してから元の箱に戻す．このような操作を繰り返したとき，$k$回目に取り出したカードの数字を$A_k$とし，
\[ T_n=\sum_{k=1}^n A_k \]
とする．このとき，$T_n$が奇数となる確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．

以下の問いに答えよ．ただし，解が分数になるときは既約分数とせよ．

(1)赤玉が$3$個，青玉が$7$個入っている企業$\mathrm{A}$の箱を$a$箱用意し，赤玉が$1$個，青玉が$19$個入っている企業$\mathrm{B}$の箱を$20$箱用意する．すべての箱の玉を混ぜ，その中から$1$個取り出した玉が赤玉となる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$となった．企業$\mathrm{A}$の箱の数$a$を求めよ．
(2)企業$\mathrm{A}$ではある玉を$10$個ずつ$1$つの箱につめている．$10$個のうち赤玉が$3$個，青玉が$7$個含まれているとする．

(i) $1$箱の中から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を確認して戻すということを$2$回行う．$2$回とも赤玉となる確率を求めよ．
(ii) $1$箱の中から一度に無作為に$2$個の玉を取り出す．$2$個とも赤玉となる確率を求めよ．
(iii) 赤玉が$3$個，青玉が$7$個つめられた箱を$3$箱用意する．$1$箱から一度に無作為に$5$個の玉を取り出し，色を確認する．$3$箱とも，取り出した玉のうち赤玉が$1$個以下となる確率を求めよ．

$n$を正の整数とし，$m$を$0$以上$10$以下の整数とする．袋$1$から袋$n$まで，外見では区別のつかない袋が$n$袋ある．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$について，袋$k$の中には，赤球が$k$個，白球が$n-k$個入っているものとする．袋を$1$つ選んだ後，その選んだ袋について次の操作を$10$回繰り返して行うことにする．

（操作） 袋から球を$1$つ取り出し，色を確認してその袋に戻す．

赤球をちょうど$m$回取り出す確率を$P_{m,n}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$P_{m,n}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} P_{10,n}$を求めよ．
(3)$m=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 9$について，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_{m,n}=\lim_{n \to \infty} P_{m+1,n}$を示せ．

下の問いに答えなさい．

(1)袋の中に$-1$と書かれたカードが$1$枚，$2$と書かれたカードが$2$枚，計$3$枚ある．この袋の中からカードを$1$枚取り出し，出た数を確認してから元に戻す．この試行を$4$回繰り返すとき，出た$4$つの数の和が$0$以下である確率を求めなさい．
(2)袋の中に$2$と書かれたカードが$1$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚，$8$と書かれたカードが$1$枚，計$3$枚ある．この袋の中からカードを$1$枚取り出し，出た数を確認してから元に戻す．この試行を$4$回繰り返すとき，出た$4$つの数の積が$128$である確率を求めなさい．

$1$から$9$までの番号が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードから無作為に$1$枚を取り出し，その番号を確認してもとにもどす．この試行を$4$回行う．カードに書かれた番号を取り出した順に$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$がすべて異なる確率を求めよ．
(2)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$が異なる$2$種類の番号をそれぞれ$2$個ずつ含む確率を求めよ．
(3)$a_1<a_2<a_3<a_4$となる確率を求めよ．
(4)$a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 \leqq a_4$となる確率を求めよ．

ボタンを$1$回押すたびに$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの数字が$1$つ画面に表示される機械がある．このうちの$1$つの数字$Q$が表示される確率は$\displaystyle \frac{1}{k}$であり，$Q$以外の数字が表示される確率はいずれも等しいとする．ただし，$k$は$k>6$を満たす自然数とする．

ボタンを$1$回押して表示された数字を確認する試行を繰り返すとき，$1$回目に$4$の数字，$2$回目に$5$の数字が表示される確率は，$1$回目に$5$の数字，$2$回目に$6$の数字が表示される確率の$\displaystyle \frac{8}{5}$倍である．このとき，

(1)$Q$は$[$59$]$であり，$k$は$[$60$]$である．
(2)この試行を$3$回繰り返すとき，表示された$3$つの数字の和が$16$となる確率は
\[ \frac{[$61$][$62$][$63$]}{\kakkofour{$64$}{$65$}{$66$}{$67$}} \]
である．
(3)この試行を$500$回繰り返すとき，そのうち$Q$の数字が$n$回表示される確率を$P_n$とおくと，$P_n$の値が最も大きくなる$n$の値は$[$68$][$69$]$である．

「当たり」のカードが$2$枚，「外れ」のカードが$8$枚，計$10$枚のカードが入っている箱がある．この箱を使って，次の試行を行う．
\begin{itemize}
試行$\mathrm{A}$：カードを$1$枚引き，「当たり」の有無を確認して，箱に戻す．
試行$\mathrm{B}$：カードを$2$枚引き，「当たり」の有無を確認して，箱に戻す．
\end{itemize}
$k$を正の整数とし，試行$\mathrm{A}$を$k$回繰り返したとき，

「当たり」の有る試行が，少なくとも$1$回ある確率

を$P(k)$とする．一方，試行$\mathrm{B}$を$k$回繰り返した時に，

$2$枚とも「当たり」である試行が，少なくとも$1$回ある確率

を$Q(k)$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$P(3)$および$Q(2)$を求めよ．
(2)下の常用対数表を用いて，$\log_{10}45$の値を小数点以下$3$位まで求めよ．


\begin{tabular}{c|ccccc}
\hline
$n$ & $2$ & $3$ & $7$ & $11$ & $13$ \\ \hline
$\log_{10}n$ & $0.301$ & $0.477$ & $0.845$ & $1.041$ & $1.114$ \\ \hline
\end{tabular}


(3)$P(10)$と$Q(100)$はどちらが大きいか．根拠を述べて解答せよ．なお，前問の常用対数表を利用してよい．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$のとき，
\[ xy=\frac{[ア]}{[イ]},\quad x+y=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(2)$a,\ b$を定数とする．不等式$x-2a \leqq 3x+b \leqq x+2$の解が$4 \leqq x \leqq 5$であるとき，$a=[カ]$，$b=[キク]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x-5=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，

$m \leqq \alpha<m+1$を満たす整数$m$の値は$m=[ケコ]$，
$n \leqq \beta<n+1$を満たす整数$n$の値は$n=[サ]$

である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使ってできる$4$桁の整数のうち，$2$の倍数は$[シスセ]$個ある．ただし，同じ数字をくり返し使わないものとする．
(5)方程式$5x+7y=1 \cdots\cdots①$の整数解$x,\ y$を求める．
$5 \cdot 3+7 \cdot ([ソタ])=1 \cdots\cdots②$が成り立ち，$①,\ ②$から
\[ 5(x-3)+7(y+[チ])=0 \]
が成り立つ．よって，$x-3=[ツ]n$（$n$は整数）とおけるから，$①$のすべての整数解は
\[ x=[ツ]n+3,\quad y=[テト]n-[チ] \quad (n \text{は整数}) \]
と表せる．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{9}{16}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[アイ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]}$であり，その内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(7)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3} (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$のとき，$\displaystyle \sin^2 \theta-\cos^2 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コ]}$である．
(8)箱の中に赤玉$1$個，黄玉$2$個，白玉$2$個の計$5$個の玉がある．この$5$個の玉から$1$個の玉を取り出し，その色を確認して元に戻す．この試行をくり返して，赤玉を取り出すか，または，黄玉を$2$回取り出したときに試行を終了するものとする．このとき，$3$回目の試行で終了する確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセソ]}$である．

箱に色のついた玉を入れておく．箱から玉を$1$個取り出して色を確認し箱に戻す試行に対し，次の問に答えよ．

(1)箱に赤玉と白玉をそれぞれ$1$個以上，合わせて$40$個入れ試行を$2$回行う．このとき，赤玉と白玉を$1$個ずつ取り出す確率が$\displaystyle \frac{21}{50}$となるには，赤玉を何個入れればよいか．ただし，白玉より赤玉を多く入れるものとする．
(2)箱に赤玉，白玉，黒玉をそれぞれ$1$個以上，合わせて$40$個入れるとき，取り出した玉が赤なら$1$点，白なら$0$点，黒なら$-1$点を得るとする．箱に入れた白玉と黒玉がともに$n$個のとき，試行を$2$回行って得点が$0$点になる確率を$P(n)$とする．このとき，$P(n)$を$n$を用いて表せ．また，$P(n)$が$\displaystyle \frac{1}{5} \leqq P(n) \leqq \frac{1}{4}$を満たす$n$をすべて求めよ．

袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．

(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．

(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．