「確率変数」について
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国立 鹿児島大学 2016年 第6問次の各問いに答えよ．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
国立 鹿児島大学 2016年 第5問次の各問いに答えよ．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
国立 鹿児島大学 2016年 第5問次の各問いに答えよ．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
国立 鹿児島大学 2015年 第5問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第7問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第5問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2014年 第7問$2$つの確率変数$X,\ Y$の確率分布を同時に考えた表（同時確率分布表）が下のように与えられている．ただし，$X,\ Y$は互いに独立であり，$0<a<1$，$0<b<1$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
（図は省略）
(1)表を完成させ，完成させた表を書け．
(2)確率変数$W=X-Y$の平均$E(W)$を求めよ．
(3)確率変数$\displaystyle Z=\frac{Y}{X}$の確率分布表を作成し，$Z$の平均$E(Z)$を求めよ．
(4)$\displaystyle E(Z)=\frac{9}{4},\ E(W)=-\frac{3}{2}$となる場合に，$Z$の分散$V(Z)$を求めよ．
（図は省略）
(1)表を完成させ，完成させた表を書け．
(2)確率変数$W=X-Y$の平均$E(W)$を求めよ．
(3)確率変数$\displaystyle Z=\frac{Y}{X}$の確率分布表を作成し，$Z$の平均$E(Z)$を求めよ．
(4)$\displaystyle E(Z)=\frac{9}{4},\ E(W)=-\frac{3}{2}$となる場合に，$Z$の分散$V(Z)$を求めよ．
国立 浜松医科大学 2014年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)$r$は自然数，$n$は$r$より大きい整数とする．$2$項係数$\comb{k+r}{r} (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-r)$の次の等式を示せ．
\[ \sum_{k=0}^{n-r} \comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1} \]
以下整数$n (n \geqq 2)$に対し，次の確率分布に従う確率変数$X$を考える．
\[ P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1) \]
(2)$X$の期待値$\mu_n=E(X)$を求めよ．また，$\displaystyle P(X \geqq m) \geqq \frac{1}{2}$を満たす最大の整数$m$を$M_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{M_n}{\mu_n}$を求めよ．
(1)$r$は自然数，$n$は$r$より大きい整数とする．$2$項係数$\comb{k+r}{r} (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-r)$の次の等式を示せ．
\[ \sum_{k=0}^{n-r} \comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1} \]
以下整数$n (n \geqq 2)$に対し，次の確率分布に従う確率変数$X$を考える．
\[ P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1) \]
(2)$X$の期待値$\mu_n=E(X)$を求めよ．また，$\displaystyle P(X \geqq m) \geqq \frac{1}{2}$を満たす最大の整数$m$を$M_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{M_n}{\mu_n}$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2014年 第8問次の各問いに答えよ．
(1)数字$1$が書かれた玉$a$個（$a \geqq 1$）と，数字$2$が書かれた玉$1$個がある．これら$a+1$個の玉を母集団として，玉に書かれている数字を変量とする．このとき，この母集団から復元抽出によって大きさ$3$の無作為標本を抽出し，その玉の数字を取り出した順に$X_1$，$X_2$，$X_3$とする．標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$の平均$E(\overline{X})$が$\displaystyle \frac{3}{2}$であるとき，$\overline{X}$の確率分布とその分散$V(\overline{X})$を求めよ．ただし，復元抽出とは，母集団の中から標本を抽出するのに，毎回もとに戻してから次のものを$1$個取り出す抽出法である．
(2)ある企業の入社試験は採用枠$300$名のところ$500$名の応募があった．試験の結果は$500$点満点の試験に対し，平均点$245$点，標準偏差$50$点であった．得点の分布が正規分布であるとみなされるとき，合格最低点はおよそ何点であるか．小数点以下を切り上げて答えよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布に従うとき，$P(Z>0.25)=0.4$，$P(Z>0.5)=0.3$，$P(Z>0.54)=0.2$とする．
(1)数字$1$が書かれた玉$a$個（$a \geqq 1$）と，数字$2$が書かれた玉$1$個がある．これら$a+1$個の玉を母集団として，玉に書かれている数字を変量とする．このとき，この母集団から復元抽出によって大きさ$3$の無作為標本を抽出し，その玉の数字を取り出した順に$X_1$，$X_2$，$X_3$とする．標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$の平均$E(\overline{X})$が$\displaystyle \frac{3}{2}$であるとき，$\overline{X}$の確率分布とその分散$V(\overline{X})$を求めよ．ただし，復元抽出とは，母集団の中から標本を抽出するのに，毎回もとに戻してから次のものを$1$個取り出す抽出法である．
(2)ある企業の入社試験は採用枠$300$名のところ$500$名の応募があった．試験の結果は$500$点満点の試験に対し，平均点$245$点，標準偏差$50$点であった．得点の分布が正規分布であるとみなされるとき，合格最低点はおよそ何点であるか．小数点以下を切り上げて答えよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布に従うとき，$P(Z>0.25)=0.4$，$P(Z>0.5)=0.3$，$P(Z>0.54)=0.2$とする．
国立 鹿児島大学 2013年 第7問$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の数字が$1$つずつ記入された$5$枚のカードがある．この$5$枚のカードの中から$1$枚引き，数字を記録して戻すという作業を$3$回繰り返す．ただし，$3$回ともどのカードを引く確率も等しいとする．記録した$3$つの数字の最小値を$X$とするとき，次の各問いに答えよ．
(1)$k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して確率$P(X \geqq k)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率分布を表で表せ．
(3)確率変数$X$の平均（期待値）$E(X)$を求めよ．
(4)確率変数$X$の分散$V(X)$を求めよ．
(1)$k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して確率$P(X \geqq k)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率分布を表で表せ．
(3)確率変数$X$の平均（期待値）$E(X)$を求めよ．
(4)確率変数$X$の分散$V(X)$を求めよ．