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私立 大阪薬科大学 2016年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の最大値が$5$以上である確率を$p$，出る目の最大値が$4$以下である確率を$q$とする．このとき，$p$と$q$の間で成り立つ大小関係を次のア～ウのうちからひとつ選べ．ただし，どのさいころも$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
ア：「$p<q$」 \qquad イ：「$p=q$」 \qquad ウ：「$p>q$」
(2)第$2$項が$3$，第$22$項が$33$である等差数列の第$28$項の値を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$(5x+1)^n$の展開式における$x^2$の項の係数が$700$である$n$の値を求めよ．
(4)$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数とする．$x$の関数
\[ f(x)=2x^3-3(2+\sin \theta)x^2+(1+\sin \theta)(2+\sin \theta)^2 \]
の極小値を$m(\theta)$とし，$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの$m(\theta)$のとり得る最大の値を$M$とする．このとき，$M$の値，および$m(\theta)=M$を満たす$\theta$の値を求めよ．
(1)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の最大値が$5$以上である確率を$p$，出る目の最大値が$4$以下である確率を$q$とする．このとき，$p$と$q$の間で成り立つ大小関係を次のア～ウのうちからひとつ選べ．ただし，どのさいころも$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
ア：「$p<q$」 \qquad イ：「$p=q$」 \qquad ウ：「$p>q$」
(2)第$2$項が$3$，第$22$項が$33$である等差数列の第$28$項の値を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$(5x+1)^n$の展開式における$x^2$の項の係数が$700$である$n$の値を求めよ．
(4)$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数とする．$x$の関数
\[ f(x)=2x^3-3(2+\sin \theta)x^2+(1+\sin \theta)(2+\sin \theta)^2 \]
の極小値を$m(\theta)$とし，$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの$m(\theta)$のとり得る最大の値を$M$とする．このとき，$M$の値，および$m(\theta)=M$を満たす$\theta$の値を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
国立 信州大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
国立 信州大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
私立 大阪薬科大学 2015年 第2問次の問いに答えなさい．
$a,\ b$を正の実数の定数とし，$2$次関数$f(x)=3x^2+ax+b$を考える．$xy$座標平面上の放物線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(1,\ f(1))$における接線を$\ell$とする．また，$\ell$を$y$軸方向に$3$だけ平行移動した直線を$m$とする．
(1)$C$の頂点の$y$座標を$q$とするとき，$q$は，$a$と$b$を用いて表すと$q=[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$C$と$m$で囲まれる部分の面積$S$の値は$S=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を$r$とする．このとき，$r$は，$a$と$b$を用いて表すと$r=[$\mathrm{G]$}$である．また，大小$2$個のさいころを投げ，大きいさいころの出た目の数を$a$の値，小さいさいころの出た目の数を$b$の値とするとき，$\displaystyle 0 \leqq r \leqq \frac{1}{6}$である確率$P$の値は$P=[$\mathrm{H]$}$である．ただし，大小$2$個のさいころはそれぞれ$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
(4)$C$と$x$軸の共有点が$2$個であるとき，その共有点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする（$\alpha<\beta$）．$C$と$x$軸の共有点が$2$個であり，かつ$a,\ b$それぞれが$1 \leqq a \leqq 6$，$1 \leqq b \leqq 6$を満たす整数であるとき，$\alpha^2+\beta^2$のとり得る値の最大値と最小値を$[い]$で求めなさい．
$a,\ b$を正の実数の定数とし，$2$次関数$f(x)=3x^2+ax+b$を考える．$xy$座標平面上の放物線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(1,\ f(1))$における接線を$\ell$とする．また，$\ell$を$y$軸方向に$3$だけ平行移動した直線を$m$とする．
(1)$C$の頂点の$y$座標を$q$とするとき，$q$は，$a$と$b$を用いて表すと$q=[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$C$と$m$で囲まれる部分の面積$S$の値は$S=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を$r$とする．このとき，$r$は，$a$と$b$を用いて表すと$r=[$\mathrm{G]$}$である．また，大小$2$個のさいころを投げ，大きいさいころの出た目の数を$a$の値，小さいさいころの出た目の数を$b$の値とするとき，$\displaystyle 0 \leqq r \leqq \frac{1}{6}$である確率$P$の値は$P=[$\mathrm{H]$}$である．ただし，大小$2$個のさいころはそれぞれ$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
(4)$C$と$x$軸の共有点が$2$個であるとき，その共有点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする（$\alpha<\beta$）．$C$と$x$軸の共有点が$2$個であり，かつ$a,\ b$それぞれが$1 \leqq a \leqq 6$，$1 \leqq b \leqq 6$を満たす整数であるとき，$\alpha^2+\beta^2$のとり得る値の最大値と最小値を$[い]$で求めなさい．
国立 埼玉大学 2014年 第3問南北に平行に走る$5$本の同じ長さの線分が等間隔で並んでいる．西から順に，各線分の南の端点は，$A_0$，$B_0$，$C_0$，$D_0$，$E_0$であり，北の端点は，$A$，$B$，$C$，$D$，$E$である．各線分を$4$等分する点を，南から順に，$1$番地，$2$番地，$3$番地と呼ぶ．隣り合う線分の同じ番地同士を結ぶ線分を橋と呼ぶ．人は南の端点のいずれかをスタート地点として北へ向かって歩き始め，橋に出会わなければそのまま北へ向かって歩き続け，橋に出会えば橋で結ばれた隣の線分に渡ってその線分を北へ向かって歩く．必要ならこれを繰り返し，人は最終的に北の端点のゴール地点に到着する．$D$に家があるとする．$5$つの各スタート地点から家に到着することができるそれぞれの確率を，以下の場合に，求めなさい．
(1)同様に確からしく，$1$番地に$1$本の橋を置く場合
(2)同様に確からしく，たがいに独立に，$1$番地に$1$本，$2$番地に$1$本，$3$番地に$1$本の橋を置く場合
(1)同様に確からしく，$1$番地に$1$本の橋を置く場合
(2)同様に確からしく，たがいに独立に，$1$番地に$1$本，$2$番地に$1$本，$3$番地に$1$本の橋を置く場合
国立 島根大学 2013年 第2問円周上に異なる$n$個の点があり，どの$2$点も線分で結ばれている．ここで$n$は$4$以上の自然数とする．同様の確からしさで異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を考える．たとえば，$n=4$のときは，線分が$6$本，異なる$2$本の線分の組が$15$組，そのうち円の内部で交わるものは$1$組で，円の内部で交わっている確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$となる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$n=5$のとき，線分の数，異なる$2$本の線分の組の数，そのうち円の内部で交わっている組の数をそれぞれ求めよ．また，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を求めよ．
(2)一般に，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を$n$を用いて表せ．
(1)$n=5$のとき，線分の数，異なる$2$本の線分の組の数，そのうち円の内部で交わっている組の数をそれぞれ求めよ．また，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を求めよ．
(2)一般に，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を$n$を用いて表せ．
国立 島根大学 2013年 第3問円周上に異なる$n$個の点があり，どの$2$点も線分で結ばれている．ここで$n$は$4$以上の自然数とする．同様の確からしさで異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を考える．たとえば，$n=4$のときは，線分が$6$本，異なる$2$本の線分の組が$15$組，そのうち円の内部で交わるものは$1$組で，円の内部で交わっている確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$となる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$n=5$のとき，線分の数，異なる$2$本の線分の組の数，そのうち円の内部で交わっている組の数をそれぞれ求めよ．また，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を求めよ．
(2)一般に，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を$n$を用いて表せ．
(1)$n=5$のとき，線分の数，異なる$2$本の線分の組の数，そのうち円の内部で交わっている組の数をそれぞれ求めよ．また，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を求めよ．
(2)一般に，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を$n$を用いて表せ．
国立 島根大学 2012年 第1問直線上に$n+1$個の点P$_0$，P$_1$，P$_2$，$\cdots$，P$_n$がこの順に並んでいて，隣り合う2点間の距離
\[ \text{P}_0 \text{P}_1,\ \text{P}_1 \text{P}_2,\ \text{P}_2 \text{P}_3,\ \cdots,\ \text{P}_{n-1} \text{P}_n \]
がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \cdots,\ \frac{1}{n}$となっている．この$n+1$個の点から，同様の確からしさで異なる2点を選び，その距離を$d$とする．このとき，$d$の期待値を求めよ．
\[ \text{P}_0 \text{P}_1,\ \text{P}_1 \text{P}_2,\ \text{P}_2 \text{P}_3,\ \cdots,\ \text{P}_{n-1} \text{P}_n \]
がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \cdots,\ \frac{1}{n}$となっている．この$n+1$個の点から，同様の確からしさで異なる2点を選び，その距離を$d$とする．このとき，$d$の期待値を求めよ．
私立 成城大学 2012年 第2問$x$が正の整数であるとき，$x^4+4$が素数となりうるかを調べる．$[ ]$に適当な式，または数値を入れよ．
$x^4+4$は，係数が実数の$2$つの$2$次式の積$([$*$]) \times ([$**$])$に因数分解することができる．$x$は正の整数であるから，$[$*$]$も$[$**$]$も，いずれも整数である．もし，$x^4+4$が素数であるとするならば，$[$*$]$と$[$**$]$のうち，いずれか小さい方が，$[ ]$でなければならない．これを解くと，$x=[ ]$であり，このとき，$x^4+4=[ ]$となり，確かに素数となる．
$x^4+4$は，係数が実数の$2$つの$2$次式の積$([$*$]) \times ([$**$])$に因数分解することができる．$x$は正の整数であるから，$[$*$]$も$[$**$]$も，いずれも整数である．もし，$x^4+4$が素数であるとするならば，$[$*$]$と$[$**$]$のうち，いずれか小さい方が，$[ ]$でなければならない．これを解くと，$x=[ ]$であり，このとき，$x^4+4=[ ]$となり，確かに素数となる．