三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．また線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CF}$と線分$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\ell \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$\ell$と$m$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

曲線$C:y=x^3-6x^2+9x$について，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
(2)定数$a$に対し，直線$\ell:y=ax$が曲線$C$と$x=2$で交点をもつとき，$a$の値と全ての交点の座標を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)直線$\ell$が曲線$C$と$x \geqq 0$の範囲で異なる$3$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．

座標平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{A}(k,\ 1)$，$\mathrm{B}(k,\ -1)$とする．ただし，$k>1$，$0^\circ<\theta<{90}^\circ$であるとする．以下の問題に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$\theta$と$k$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{PB}$と$x$軸の交点を$\mathrm{C}$とするとき，$\triangle \mathrm{OPC}$の面積を$\theta$と$k$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{PB} \perp \mathrm{OA}$が成り立つための条件を$\theta$と$k$を用いて表せ．
(4)$\theta={30}^\circ$のとき，$\mathrm{PB} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとする．このとき，$k$の値を求めよ．

曲線$C:y=(\log_e x)^2$とする．

(1)点$(0,\ 3)$から$C$に引いた接線の方程式をすべて求めよ．
(2)$C$と$x$軸，および直線$x=e$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$2$つの関数を$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$，$\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}x$とする．$xy$平面上に，曲線$C:y=f(x)$，直線$\ell:y=g(x)$がある．$C$と$\ell$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式$|f(x)|>|g(x)|$を解け．
(3)$V$の値を求めよ．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ニ]$に入れるのに適する数値，式を答えよ．

(1)$2$次方程式$2x^2-3x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2,\ \beta^2$を解とする$2$次方程式の$1$つは$[サ]$である．
(2)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 7)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(3,\ 4)$を通る円の方程式は$[シ]$である．また，この円と直線$y=x+k$が接するとき$k=[ス]$，$[セ]$である．
(3)関数$y=\cos 2x+2 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めると，$x=[ソ]$，$[タ]$のとき最大値$y=[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$y=[テ]$をとる．
(4)不等式$\log_2(x+5)+\log_2(x-2)<3$を満たす$x$の範囲は$[ト]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2n^2-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ナ]$であり，$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_na_{n+1}$を$n$の式で表すと$[ニ]$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} (1 \leqq x \leqq 8)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=e$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

複素数平面上の異なる$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{P}(i)$，$\mathrm{Q}(z)$に対して，点$\mathrm{R}(w)$を
\[ w=\frac{\alpha-i}{\overline{\alpha}+i} \overline{z}+\frac{\alpha+\overline{\alpha}}{\overline{\alpha}+i}i \]
により定める．ただし，$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{P}(i)$，$\mathrm{Q}(z)$は同一直線上にない．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$|\displaystyle\frac{w-i|{z-i}}$を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{z-w}{\alpha-i}$の偏角$\theta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$\alpha=\sqrt{3}+2i$とする．$\triangle \mathrm{PQR}$が点$\mathrm{A}$を重心とする正三角形となるとき，$z$の値を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=4$，
\[ \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2},\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3},\quad \angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする．また，線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{CQ}$，線分$\mathrm{CP}$の中点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{PR}$と直線$\mathrm{QS}$の交点を$\mathrm{T}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{T}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{TH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{HT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABT}$の体積を求めよ．

空間内の$3$点$\mathrm{A}(0,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-3,\ -2,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とする．次の問いに答えなさい．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めなさい．
(3)直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AH}$と$\mathrm{AD}$の長さの比を求めなさい．