「直線」について
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（17ページ目：全2462問中161問～170問を表示）
国立 東京海洋大学 2016年 第1問$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2+5$について次の問に答えよ．
(1)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$を通る直線が点$\mathrm{P}$とは異なる点$\mathrm{Q}(q,\ f(q))$で曲線$y=f(x)$に接するとき，$q$を$p$で表せ．
(1)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$を通る直線が点$\mathrm{P}$とは異なる点$\mathrm{Q}(q,\ f(q))$で曲線$y=f(x)$に接するとき，$q$を$p$で表せ．
私立 山口東京理科大学 2016年 第4問空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ -1,\ -1)$を定める．点$\mathrm{P}$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線上の点であれば，実数$t$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
と表される．このとき，点$\mathrm{P}$が$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の長さを最小にするとき，$t$の値，点$\mathrm{P}$の座標について，
\[ t=[ニ],\quad \mathrm{P}(-[ヌ],\ -[ネ],\ [ノ]) \]
である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
と表される．このとき，点$\mathrm{P}$が$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の長さを最小にするとき，$t$の値，点$\mathrm{P}$の座標について，
\[ t=[ニ],\quad \mathrm{P}(-[ヌ],\ -[ネ],\ [ノ]) \]
である．
私立 同志社大学 2016年 第3問座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 5)$，$\mathrm{B}(5,\ 6,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}(4,\ 8,\ 13)$および直線$\ell$上の$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を頂点とする$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形であるとする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$に，点$\mathrm{P}$から垂線を下ろし，直線$\ell$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)正三角形$\triangle \mathrm{PQR}$の一辺の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{PQRS}$が正四面体になるようなすべての点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．
(1)直線$\ell$に，点$\mathrm{P}$から垂線を下ろし，直線$\ell$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)正三角形$\triangle \mathrm{PQR}$の一辺の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{PQRS}$が正四面体になるようなすべての点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．
私立 日本医科大学 2016年 第2問次の関数$f(x)$（ただし$x>0$）に関する以下の各問いに答えよ．
\[ f(x)=\int_1^x t(x-t+1)e^{-{(x-t+1)}^2} \, dt \]
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}(e^{-1}-e^{-x^2})$とするとき，$f(x)$と$g(x)$の$x>0$における大小関係を調べよ．
(3)$(2)$の$g(x)$に対して，傾きが$f^\prime(x)-g^\prime(x)$の$x=\sqrt{2}$における値に等しく，点$(1,\ 0)$を通る直線を考えることにより，不等式
\[ 0.115<f(\sqrt{2})<0.165 \]
が成り立つことを示せ．ただし，$0.367<e^{-1}<0.368$，$0.135<e^{-2}<0.136$であることは用いてよい．
\[ f(x)=\int_1^x t(x-t+1)e^{-{(x-t+1)}^2} \, dt \]
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}(e^{-1}-e^{-x^2})$とするとき，$f(x)$と$g(x)$の$x>0$における大小関係を調べよ．
(3)$(2)$の$g(x)$に対して，傾きが$f^\prime(x)-g^\prime(x)$の$x=\sqrt{2}$における値に等しく，点$(1,\ 0)$を通る直線を考えることにより，不等式
\[ 0.115<f(\sqrt{2})<0.165 \]
が成り立つことを示せ．ただし，$0.367<e^{-1}<0.368$，$0.135<e^{-2}<0.136$であることは用いてよい．
私立 日本医科大学 2016年 第3問座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$，$\mathrm{Q}(t-5,\ t^2-4t+2)$に対して，$t$が$1 \leqq t \leqq 3$の範囲を動くとき，以下の各問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$を表す直線の方程式および定義域を，$t$を用いて表せ（答えのみでよい）．
(2)線分$\mathrm{PQ}$が通過する範囲$D$を求め，図示せよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$を表す直線の方程式および定義域を，$t$を用いて表せ（答えのみでよい）．
(2)線分$\mathrm{PQ}$が通過する範囲$D$を求め，図示せよ．
私立 南山大学 2016年 第2問関数$f(x)=xe^x$と曲線$C:y=f(x)$を考える．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$C$上の点$(t,\ te^t)$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(3)$C$の接線で点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものを求めよ．
(4)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(5)$(3)$で求めた接線のうち，接点の$x$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きいものを$\ell$とするとき，$C$と$\ell$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$C$上の点$(t,\ te^t)$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(3)$C$の接線で点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものを求めよ．
(4)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(5)$(3)$で求めた接線のうち，接点の$x$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きいものを$\ell$とするとき，$C$と$\ell$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
私立 南山大学 2016年 第3問$3$辺の長さが$\mathrm{OP}=5$，$\mathrm{OQ}=6$，$\mathrm{PQ}=7$である$\triangle \mathrm{OPQ}$の内心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{OI}$と辺$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{C}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおく．
(1)面積比$\triangle \mathrm{IOP}:\triangle \mathrm{IOQ}:\triangle \mathrm{IPQ}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(4)点$\mathrm{R}$を，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\overrightarrow{p}$となるようにとり，$\triangle \mathrm{OQR}$の内心を$\mathrm{J}$とする．このとき，$k \overrightarrow{\mathrm{OI}}-\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$と$\overrightarrow{p}$が平行となる$k$の値を求めよ．
(1)面積比$\triangle \mathrm{IOP}:\triangle \mathrm{IOQ}:\triangle \mathrm{IPQ}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(4)点$\mathrm{R}$を，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\overrightarrow{p}$となるようにとり，$\triangle \mathrm{OQR}$の内心を$\mathrm{J}$とする．このとき，$k \overrightarrow{\mathrm{OI}}-\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$と$\overrightarrow{p}$が平行となる$k$の値を求めよ．
私立 日本医科大学 2016年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}=2$，また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である．四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の各問いに答えよ．なお数値の分母は有理化すること．
(i) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(ii) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ．
(iii) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$n$を$3$で割った余りを$a_n$，$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(i) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$（$k$は実数の定数）が与えられているとき，以下の各問いに答えよ．
\[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]
(i) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ．
(ii) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ．
(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}=2$，また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である．四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の各問いに答えよ．なお数値の分母は有理化すること．
(i) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(ii) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ．
(iii) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$n$を$3$で割った余りを$a_n$，$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(i) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$（$k$は実数の定数）が与えられているとき，以下の各問いに答えよ．
\[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]
(i) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ．
(ii) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると$\theta=[ア]$である．
(2)$10$本のくじのうち当たりくじは$n$本である．同時に$2$本のくじを引いたとき，$2$本ともはずれである確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$であった．このとき，$n=[イ]$である．
(3)$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BC}=24$，$\mathrm{AC}=16$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$である．
(4)頂点が反時計回りに$\mathrm{ABCDEF}$である正六角形について，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=a \overrightarrow{\mathrm{AB}}+b \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表したとき，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a$と$b$は実数とする．
(5)$(3+i)(x+yi)=6+5i$を満たす実数$x,\ y$を求めると，$x=[カ]$，$y=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)直線$\ell$に関して点$(3,\ 2)$と対称な点は$(1,\ 4)$である．このとき，直線$\ell$の方程式を$ax+by=1$とすると，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(7)$975$の正の約数の個数は$[コ]$個である．
(8)$-1 \leqq x \leqq 5$の範囲で，関数$\displaystyle f(x)=\int_{-3}^x (t^2-2t-3) \, dt$が最小値をとるのは$x=[サ]$のときである．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると$\theta=[ア]$である．
(2)$10$本のくじのうち当たりくじは$n$本である．同時に$2$本のくじを引いたとき，$2$本ともはずれである確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$であった．このとき，$n=[イ]$である．
(3)$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BC}=24$，$\mathrm{AC}=16$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$である．
(4)頂点が反時計回りに$\mathrm{ABCDEF}$である正六角形について，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=a \overrightarrow{\mathrm{AB}}+b \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表したとき，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a$と$b$は実数とする．
(5)$(3+i)(x+yi)=6+5i$を満たす実数$x,\ y$を求めると，$x=[カ]$，$y=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)直線$\ell$に関して点$(3,\ 2)$と対称な点は$(1,\ 4)$である．このとき，直線$\ell$の方程式を$ax+by=1$とすると，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(7)$975$の正の約数の個数は$[コ]$個である．
(8)$-1 \leqq x \leqq 5$の範囲で，関数$\displaystyle f(x)=\int_{-3}^x (t^2-2t-3) \, dt$が最小値をとるのは$x=[サ]$のときである．
私立 立教大学 2016年 第3問放物線$C:y=x^2$と直線$\ell:y=kx+k (k>0)$に対し，放物線$C$と直線$\ell$の$2$個の交点を$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) (a<b)$とする．さらに，点$\mathrm{A}$における放物線$C$の接線を$m_1$，点$\mathrm{B}$における放物線$C$の接線を$m_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$m_1$の方程式を$a$を用いて表せ．また，直線$m_2$の方程式を$b$を用いて表せ．
(2)$a$と$b$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)$2$つの直線$m_1$と$m_2$の交点を$\mathrm{D}(p,\ q)$とするとき，$p$と$q$のそれぞれを$k$を用いて表せ．
(4)放物線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$T$を$k$を用いて表せ．
(5)$2$点$\mathrm{E}(a,\ q)$，$\mathrm{F}(b,\ q)$をとる．三角形$\mathrm{AED}$と三角形$\mathrm{BFD}$の面積の和$S$を$k$を用いて表せ．また$\displaystyle \frac{S}{T}$を求めよ．
(1)直線$m_1$の方程式を$a$を用いて表せ．また，直線$m_2$の方程式を$b$を用いて表せ．
(2)$a$と$b$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)$2$つの直線$m_1$と$m_2$の交点を$\mathrm{D}(p,\ q)$とするとき，$p$と$q$のそれぞれを$k$を用いて表せ．
(4)放物線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$T$を$k$を用いて表せ．
(5)$2$点$\mathrm{E}(a,\ q)$，$\mathrm{F}(b,\ q)$をとる．三角形$\mathrm{AED}$と三角形$\mathrm{BFD}$の面積の和$S$を$k$を用いて表せ．また$\displaystyle \frac{S}{T}$を求めよ．