「直線」について
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国立 香川大学 2016年 第2問座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし，$0<t<\sqrt{2}$に対して，$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第2問座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし，$0<t<\sqrt{2}$に対して，$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第3問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$は，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AD}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{1}{3}$を満たしているとする．直線$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BC} \perp \mathrm{AP}$となる点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BD} \perp \mathrm{AQ}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第3問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$は，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AD}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{1}{3}$を満たしているとする．直線$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BC} \perp \mathrm{AP}$となる点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BD} \perp \mathrm{AQ}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第4問座標平面上の曲線$C:y=e^x$に対し，次の問に答えよ．
(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$，$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$，$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第5問$a>0$とし，座標平面上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$から曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x}$に引いた接線を$\ell$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
国立 九州工業大学 2016年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$の面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=8$，$\mathrm{AB}=7$である．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{CH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$(2)$の点$\mathrm{H}$に対して，線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ．また，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{D}$とし，さらに辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AE}+\mathrm{ED}$が最小となるようにとる．このとき，四面体$\mathrm{OAED}$の体積$V_2$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{CH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$(2)$の点$\mathrm{H}$に対して，線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ．また，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{D}$とし，さらに辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AE}+\mathrm{ED}$が最小となるようにとる．このとき，四面体$\mathrm{OAED}$の体積$V_2$を求めよ．
国立 九州工業大学 2016年 第3問$a<0$，$b$を実数とする．楕円$C:x^2+4y^2=4$と直線$\ell:y=ax+b$が異なる$2$個の共有点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2) (x_1<x_2)$を持つとし，$\ell$に平行な直線$m$が第$1$象限の点$\mathrm{A}$において$C$と接しているとする．次に答えよ．
(1)$b$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(2)直線$m$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$x_2-x_1$を$a,\ b$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{APQ}$の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(5)$b$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$(4)$で求めた$S$の最大値を求めよ．
(1)$b$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(2)直線$m$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$x_2-x_1$を$a,\ b$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{APQ}$の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(5)$b$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$(4)$で求めた$S$の最大値を求めよ．