タグ「無理数」の検索結果

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富山大学 国立 富山大学 2016年 第3問
$n$を$1$以上の整数とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$\sqrt{n}$が有理数ならば,$\sqrt{n}$は整数であることを示せ.
(2)$\sqrt{n}$と$\sqrt{n+1}$が共に有理数であるような$n$は存在しないことを示せ.
(3)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$は無理数であることを示せ.
富山大学 国立 富山大学 2016年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)素数$p$に対して,$\sqrt{p}$は無理数であることを示せ.
(2)$p,\ q$を異なる素数とする.このとき,整数$k,\ m,\ n$が
\[ k+m \sqrt{p}+n \sqrt{q}=0 \]
を満たすならば,$k=0$,$m=0$,$n=0$であることを示せ.
京都府立大学 公立 京都府立大学 2016年 第1問
$\alpha,\ \beta$を正の無理数とする.$2$つの集合$A,\ B$を
\[ A=\{ \, [n \alpha] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \},\quad B=\{ \, [n \beta] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \} \]
で定める.集合$C$を$A$と$B$の共通部分とする.集合$D$を$A$と$B$の和集合とする.$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$のとき以下の問いに答えよ.ただし,実数$x$に対して,$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す.

(1)$C$は空集合となることを示せ.
(2)$E=\{ \, n \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 99 \, \}$のとき,$E$は$D$の部分集合となることを示せ.
大阪大学 国立 大阪大学 2015年 第3問
以下の問いに答えよ.

(1)$\sqrt{2}$と$\sqrt[3]{3}$が無理数であることを示せ.
(2)$p,\ q,\ \sqrt{2}p+\sqrt[3]{3}q$がすべて有理数であるとする.そのとき,$p=q=0$であることを示せ.
名古屋工業大学 国立 名古屋工業大学 2015年 第2問
$2$つの関数
\[ f(x)=\frac{2}{2x+3},\quad g(x)=\frac{2x+1}{-x+2} \]
がある.

(1)関数$g(x)$の逆関数$g^{-1}(x)$を求めよ.
(2)合成関数$g^{-1}(f(g(x)))$を求めよ.
(3)実数$c$が無理数であるとき,$f(c)$は無理数であることを証明せよ.
(4)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
\[ a_1=g(\sqrt{2}),\quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)$(4)$で定められた数列$\{a_n\}$の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ.
防衛医科大学校 国立 防衛医科大学校 2015年 第1問
以下の問に答えよ.

(1)$a^5-12a^4+36a^3-81a+1,\ a^2-6a$が共に有理数となるような無理数$a$を求めよ.
(2)$a_1=1$,$a_2=e$,$a_{n+2}=a_n^{-2}a_{n+1}^3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$という条件で決まる数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(3)$f(4)=k_1$,$f^\prime(4)=k_2$を満たすどんな関数$f(x)$についても,
\[ \lim_{x \to 0} \frac{4f((x+2)^2)-(x+2)^2f(4)}{x}=\alpha k_1+\beta k_2 \]
となる.このとき,定数$\alpha,\ \beta$はそれぞれいくらか.
東京理科大学 私立 東京理科大学 2015年 第2問
各自然数$n$に対し,$X_n,\ Y_n,\ V_n,\ W_n$を
\[ X_n+Y_n \sqrt{5}=(2+\sqrt{5})^{2n-1},\quad V_n-W_n \sqrt{5}=(2-\sqrt{5})^{2n-1} \]
が成り立つような整数とする.次の問いに答えよ.$\sqrt{5}$が無理数であることを証明なしで使ってもよい.

(1)$X_2,\ Y_2,\ V_2,\ W_2$の値を求めよ.
(2)$X_{n+1},\ Y_{n+1}$をそれぞれ$X_n$と$Y_n$の式で表せ.
(3)$V_{n+1},\ W_{n+1}$をそれぞれ$V_n$と$W_n$の式で表せ.
(4)$X_n^2-5Y_n^2$を計算せよ.
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{X_n}{Y_n}$を計算せよ.
東京理科大学 私立 東京理科大学 2015年 第3問
座標平面上に$\mathrm{A}(3,\ 2)$,$\mathrm{B}(8,\ 2)$,$\mathrm{C}(6,\ 6)$,$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする四角形$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{P}$がある.$\mathrm{P}$と四角形$\mathrm{ABCD}$の周上の点(頂点を含む)との距離の最小値を$d$とする.

(1)$\mathrm{P}$の座標が$(2,\ 1)$,$\mathrm{P}$の座標が$(2,\ 8)$,$\mathrm{P}$の座標が$(6,\ 4)$のとき,$d$はそれぞれ
\[ \sqrt{[ア]},\quad \sqrt{[イ]},\quad \frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である.
(2)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$のそれぞれの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ,合計$8$枚ある.これらの$8$枚のカードをよく混ぜてから,カードを$1$枚取り出す.このカードを元に戻さないで,もう$1$枚カードを取り出す.$1$回目に取り出したカードの数字を$x$,$2$回目に取り出したカードの数字を$y$として,座標が$(x,\ y)$である点を$\mathrm{P}$とする.

(i) $d=0$,$d=1$,$d=2$となる確率は,それぞれ
\[ \frac{[カ]}{[キ][ク]},\quad \frac{[ケ]}{[コ][サ]},\quad \frac{[シ]}{[ス][セ]} \]
である.
また,$d$が無理数となる確率は,$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}$である.
(ii) $d$の期待値は,
\[ \frac{[テ]}{[ト][ナ]}+\frac{[ニ]}{[ヌ][ネ]} \sqrt{[ノ]}+\frac{[ハ][ヒ]}{[フ][ヘ][ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2015年 第5問
以下の問に答えよ.

(1)$m$を整数とするとき,$m^2$が偶数ならば,$m$は偶数であることを証明せよ.
(2)$\sqrt{2}$が無理数であることを証明せよ.
沖縄国際大学 私立 沖縄国際大学 2015年 第1問
以下の各問いに答えなさい.

(1)以下の不等式を解きなさい.

(i) $-x<6$
(ii) $-3x+1<x<5x-8$

(2)$(x-3)(x+3)(x^2+9)(x^4+81)$を展開しなさい.
(3)以下の数を有理数,無理数,整数,自然数,実数に分類し解答欄に記入しなさい.
\[ 0.5 \qquad \sqrt{2} \qquad 4 \qquad -18 \qquad 0 \qquad 0.\dot{3} \]
解答欄

\begin{tabular}{|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|}
\hline
有理数 & 無理数 & 整数 & 自然数 & 実数 \\ \hline
& $\phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{[ ]}}$ & & & \\ \hline
\end{tabular}
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「無理数」とは・・・

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