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国立 長崎大学 2016年 第2問$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．下の図$1$のように，$2$辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上に，$\mathrm{BS}=\mathrm{CT}=x (0 \leqq x \leqq 2)$を満たす点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{EST}$の面積の最大値と最小値を求めたい．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
国立 長崎大学 2016年 第2問$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．下の図$1$のように，$2$辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上に，$\mathrm{BS}=\mathrm{CT}=x (0 \leqq x \leqq 2)$を満たす点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{EST}$の面積の最大値と最小値を求めたい．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
国立 長崎大学 2016年 第2問$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．下の図$1$にように，$2$辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上に，$\mathrm{BS}=\mathrm{CT}=x (0 \leqq x \leqq 2)$を満たす点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{EST}$の面積の最大値と最小値を求めたい．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第5問次の問いに答えよ．
(1)図のように大中小の円と直線が互いに接している．小円の半径は$4$寸，中円の半径は$9$寸であった．このとき，大円の半径は$[$55$][$56$]$寸である．（注意：図は原寸どおりではない．）
（図は省略）
(2)\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
図のように半径$4$寸の扇形$\mathrm{AOB}$と半径$1$寸の扇形$\mathrm{COD}$が重なっている．今$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{5}{8}$とすると，弧$\koa{$\mathrm{AB}$}$と直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$に接する円の半径は
\[ \frac{[$57$][$58$]}{[$59$][$60$]} \left( [$61$][$62$]-\sqrt{[$63$][$64$]} \right) \]
寸である．（注意：図は原寸どおりではない．）
\end{mawarikomi}
(1)図のように大中小の円と直線が互いに接している．小円の半径は$4$寸，中円の半径は$9$寸であった．このとき，大円の半径は$[$55$][$56$]$寸である．（注意：図は原寸どおりではない．）
（図は省略）
(2)\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
図のように半径$4$寸の扇形$\mathrm{AOB}$と半径$1$寸の扇形$\mathrm{COD}$が重なっている．今$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{5}{8}$とすると，弧$\koa{$\mathrm{AB}$}$と直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$に接する円の半径は
\[ \frac{[$57$][$58$]}{[$59$][$60$]} \left( [$61$][$62$]-\sqrt{[$63$][$64$]} \right) \]
寸である．（注意：図は原寸どおりではない．）
\end{mawarikomi}
私立 玉川大学 2016年 第4問曲線$C:y=x^3-12x$とその上の点$\mathrm{A}(1,\ -11)$がある．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線$2$本を求めよ．
(2)曲線$y=x^3+px^2+qx+r$と直線$y=mx+n$が異なる$3$点で交わるとき，その交点の$x$座標を左から$a,\ b,\ c$とする．曲線と直線の囲む部分の左側，右側の面積をそれぞれ$S$，$S^\prime$とするとき，
\[ S-S^\prime=\frac{1}{6}(c-a)^3 \left( b-\frac{a+c}{2} \right) \]
を示せ．
(3)点$\mathrm{A}$を通り，$(1)$で求めた$2$直線の傾きの間の値を傾きとしてもつ直線$\ell$と曲線$C$の囲む$2$つの部分の面積が等しい．このとき，直線$\ell$を求めよ．ここで，$(2)$から$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$のとき，$S=S^\prime$となることに注意せよ．
(1)点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線$2$本を求めよ．
(2)曲線$y=x^3+px^2+qx+r$と直線$y=mx+n$が異なる$3$点で交わるとき，その交点の$x$座標を左から$a,\ b,\ c$とする．曲線と直線の囲む部分の左側，右側の面積をそれぞれ$S$，$S^\prime$とするとき，
\[ S-S^\prime=\frac{1}{6}(c-a)^3 \left( b-\frac{a+c}{2} \right) \]
を示せ．
(3)点$\mathrm{A}$を通り，$(1)$で求めた$2$直線の傾きの間の値を傾きとしてもつ直線$\ell$と曲線$C$の囲む$2$つの部分の面積が等しい．このとき，直線$\ell$を求めよ．ここで，$(2)$から$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$のとき，$S=S^\prime$となることに注意せよ．
公立 横浜市立大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々
$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$
で与えられる．標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3)$n$を自然数とする．漸化式
$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$
で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [ ] \]
ただし，積分定数は書かなくてよい．
(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々
$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$
で与えられる．標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3)$n$を自然数とする．漸化式
$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$
で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [ ] \]
ただし，積分定数は書かなくてよい．
私立 東北学院大学 2015年 第2問一辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}$，$l=|\overrightarrow{\mathrm{EC}}|$とするとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AB}$と$\mathrm{EC}$が平行であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$l$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$l$を用いて表せ．
(3)$l$を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AB}$と$\mathrm{EC}$が平行であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$l$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$l$を用いて表せ．
(3)$l$を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第5問$n$を自然数とする．$k=1,\ 2,\ 3$に対して，次の条件$\mathrm{P}_k$を考える．
$\mathrm{P}_k: \quad k \leqq r \leqq n-k$を満たすすべての自然数$r$に対して，$\comb{n}{r}$は偶数である．
(1)$2 \leqq n \leqq 20$，$k=1$とする．$\mathrm{P}_1$を満たす$n$は全部で$[ア]$個ある．このうち，最大のものは$[イ][ウ]$である．
(2)$4 \leqq n \leqq 1000$，$k=2$とする．$\mathrm{P}_2$を満たす$n$は全部で$[エ][オ]$個ある．このうち，最大のものは$[カ][キ][ク]$である．
(3)$6 \leqq n \leqq {10}^{16}$，$k=3$とする．$\mathrm{P}_3$を満たす$n$は全部で$[ケ][コ][サ]$個ある．
（注意：$0.3010<\log_{10}2<0.3011$）
$\mathrm{P}_k: \quad k \leqq r \leqq n-k$を満たすすべての自然数$r$に対して，$\comb{n}{r}$は偶数である．
(1)$2 \leqq n \leqq 20$，$k=1$とする．$\mathrm{P}_1$を満たす$n$は全部で$[ア]$個ある．このうち，最大のものは$[イ][ウ]$である．
(2)$4 \leqq n \leqq 1000$，$k=2$とする．$\mathrm{P}_2$を満たす$n$は全部で$[エ][オ]$個ある．このうち，最大のものは$[カ][キ][ク]$である．
(3)$6 \leqq n \leqq {10}^{16}$，$k=3$とする．$\mathrm{P}_3$を満たす$n$は全部で$[ケ][コ][サ]$個ある．
（注意：$0.3010<\log_{10}2<0.3011$）
私立 埼玉工業大学 2014年 第1問実数$a,\ b$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2^{2a}+5^{2b}=41 \\
2^{a-2} \cdot 5^b=5
\end{array} \right. \]
を満たす．このとき，
\[ 2^{2a}+5^{2b}=(2^a+5^b)^2-[ア] \cdot 2^a \cdot 5^b,\quad 2^{a-2} \cdot 5^b=\frac{1}{[イ]} 2^a \cdot 5^b \]
に注意すると，
\[ 2^a+5^b=[ウ],\quad 2^a \cdot 5^b=[エオ] \]
である．解と係数の関係より，$a,\ b$の値は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a=[カ] \\
b=[キ]
\end{array} \right. \quad \text{と} \quad \left\{ \begin{array}{l}
a=\log_2 [ク] \\
b=\log_5 [ケ]
\end{array} \right. \]
である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2^{2a}+5^{2b}=41 \\
2^{a-2} \cdot 5^b=5
\end{array} \right. \]
を満たす．このとき，
\[ 2^{2a}+5^{2b}=(2^a+5^b)^2-[ア] \cdot 2^a \cdot 5^b,\quad 2^{a-2} \cdot 5^b=\frac{1}{[イ]} 2^a \cdot 5^b \]
に注意すると，
\[ 2^a+5^b=[ウ],\quad 2^a \cdot 5^b=[エオ] \]
である．解と係数の関係より，$a,\ b$の値は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a=[カ] \\
b=[キ]
\end{array} \right. \quad \text{と} \quad \left\{ \begin{array}{l}
a=\log_2 [ク] \\
b=\log_5 [ケ]
\end{array} \right. \]
である．
私立 青山学院大学 2014年 第2問平面上に，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2}$，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$であるような三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．三角形$\mathrm{ABP}$が正三角形になるように，直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{O}$の反対側に点$\mathrm{P}$をとる．このとき，
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{[$13$]}{[$14$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[$17$]}{[$18$][$19$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$20$]}{[$21$][$22$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．
(3)$\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[$23$][$24$]}}{[$25$]}$で，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$とが平行であることに注意すると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MP}}=\frac{[$26$] \sqrt{[$27$]}}{[$28$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\sqrt{[$29$]}}{[$30$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{[$13$]}{[$14$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[$17$]}{[$18$][$19$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$20$]}{[$21$][$22$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．
(3)$\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[$23$][$24$]}}{[$25$]}$で，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$とが平行であることに注意すると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MP}}=\frac{[$26$] \sqrt{[$27$]}}{[$28$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\sqrt{[$29$]}}{[$30$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．