埼玉工業大学
2014年 工（Ａ） 第1問
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![実数a,bは{\begin{array}{l}2^{2a}+5^{2b}=41\2^{a-2}・5^b=5\end{array}.を満たす．このとき，2^{2a}+5^{2b}=(2^a+5^b)^2-[ア]・2^a・5^b,2^{a-2}・5^b=\frac{1}{[イ]}2^a・5^bに注意すると，2^a+5^b=[ウ],2^a・5^b=[エオ]である．解と係数の関係より，a,bの値は{\begin{array}{l}a=[カ]\b=[キ]\end{array}. と {\begin{array}{l}a=log_2[ク]\b=log_5[ケ]\end{array}.である．](./thumb/124/2248/2014_1.png)
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実数$a,\ b$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2^{2a}+5^{2b}=41 \\
2^{a-2} \cdot 5^b=5
\end{array} \right. \]
を満たす．このとき，
\[ 2^{2a}+5^{2b}=(2^a+5^b)^2-\fbox{ア} \cdot 2^a \cdot 5^b,\quad 2^{a-2} \cdot 5^b=\frac{1}{\fbox{イ}} 2^a \cdot 5^b \]
に注意すると，
\[ 2^a+5^b=\fbox{ウ},\quad 2^a \cdot 5^b=\fbox{エオ} \]
である．解と係数の関係より，$a,\ b$の値は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a=\fbox{カ} \\
b=\fbox{キ}
\end{array} \right. \quad \text{と} \quad \left\{ \begin{array}{l}
a=\log_2 \fbox{ク} \\
b=\log_5 \fbox{ケ}
\end{array} \right. \]
である．
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