次の問いに答えよ．

\mon[問1] 2次正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$で，$(A-E)(A-4E)=O$を満たすものを考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$はそれぞれ正の整数とする．

\mon[(1)] $a+d=5$であることを示せ．
\mon[(2)] このような$A$をすべて求めよ．

\mon[問2]
\[ a_1=1, a_{n+1}=\frac{9}{6-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義される数列$\{a_n\}$を考える．

\mon[(1)] すべての正の整数$n$に対し，$a_n<3$が成り立つことを証明せよ．
\mon[(2)] $\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ．
\mon[(3)] 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$A$を成分が実数である2次の正方行列，$E$を2次の単位行列とする．数列$\{a_n\}$を漸化式
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+2^n,\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める．$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．また，座標平面上の点P$_n(x_n,\ y_n)$を
\[ \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\quad \biggl( \begin{array}{c}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array} \biggr)=A^{b_n}\biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr),\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める．以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$A$は$\sqrt{2}A^2=(1+\sqrt{3})A-\sqrt{2}E$を満たすとする．$A$の逆行列$A^{-1}$が存在することを示せ．
(3)(2)，かつ，$\displaystyle x_2=\sqrt{\frac{1}{2}},\ y_2=\sqrt{\frac{3}{2}}$のとき，$x_3,\ y_3$を求めよ．ただし，$A^{-1}$が存在することを証明なしに用いてよい．
(4)(3)のとき，$x_{n+1}=x_1,\ y_{n+1}=y_1$となる最小の自然数$n$を求めよ．

2次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 3b \\
0 & b
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & b
\end{array} \right)$に対して以下の問いに答えよ．ただし，$n$を自然数とし，$a \neq 0,\ b \neq 0$とする．

(1)$AB^{-1}$を求めよ．
(2)$(AB^{-1})^n$を求めよ．
(3)$P(AB^{-1})^n=\left( \begin{array}{cc}
8 & 3 \\
1 & 2
\end{array} \right)$が成り立つとき，行列$P$を求めよ．

$A,\ B,\ C$が同じ次数の正方行列で，$A+B+C=O$かつ$AB=BC=CA$が成り立つとき，次の等式を証明せよ．ただし，$O$は零行列である．

(1)$A^2=B^2=C^2$
(2)$BA=CB=AC$
(3)$ABC=CBA$