タグ「正方形」の検索結果

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静岡大学 国立 静岡大学 2016年 第1問
一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が平面上にある.ただし,頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$は,この順に反時計回りに並んでいるものとする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ.
(3)点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき,$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ.また,その最小値を与える点$\mathrm{P}$について,$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ.
東京医科歯科大学 国立 東京医科歯科大学 2016年 第3問
座標平面において,実数$x$に対して,$4$点$(x,\ 0)$,$(x+1,\ 0)$,$(x+1,\ 1)$,$(x,\ 1)$を頂点とする正方形で囲まれる領域を$A_x$とし,$A_1 \cap A_x$の面積を$f(x)$とおく.ただし,$A_1 \cap A_x$が空集合あるいは線分のときは,$f(x)=0$とする.このとき以下の各問いに答えよ.

(1)$f(x)$のグラフをかけ.

(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^1 f(x-t) \, dt$とおくとき,$\displaystyle g \left( \frac{1}{2} \right)$,$g(2)$を求めよ.

(3)$(2)$の$g(x)$について,$\displaystyle \int_0^3 xg(x) \, dx$を求めよ.
九州大学 国立 九州大学 2016年 第3問
袋の中に,赤玉が$15$個,青玉が$10$個,白玉が$5$個入っている.袋の中から玉を$1$個取り出し,取り出した玉の色に応じて,以下の操作で座標平面に置いたコインを動かすことを考える.


\mon[(操作)] コインが点$(x,\ y)$にあるものとする.赤玉を取り出したときにはコインを点$(x+1,\ y)$に移動,青玉を取り出したときには点$(x,\ y+1)$に移動,白玉を取り出したときには点$(x-1,\ y-1)$に移動し,取り出した球は袋に戻す.

最初に原点$(0,\ 0)$にコインを置き,この操作を繰り返して行う.指定した回数だけ操作を繰り返した後,コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)操作を$n$回繰り返したとき,白玉を$1$度だけ取り出したとする.このとき,到達点となり得る点をすべて求めよ.
(2)操作を$n$回繰り返したとき,到達点となり得る点の個数を求めよ.
(3)座標平面上の$4$点$(1,\ 1)$,$(-1,\ 1)$,$(-1,\ -1)$,$(1,\ -1)$を頂点とする正方形$D$を考える.操作を$n$回繰り返したとき,到達点が$D$の内部または辺上にある確率を$P_n$とする.$P_3$を求めよ.
(4)自然数$N$に対して$P_{3N}$を求めよ.
静岡大学 国立 静岡大学 2016年 第1問
一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が平面上にある.ただし,頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$は,この順に反時計回りに並んでいるものとする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$とベクトルの大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$の値をそれぞれ求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ.
(3)点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき,$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ.また,その最小値を与える点$\mathrm{P}$について,$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ.
福岡教育大学 国立 福岡教育大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき
\[ \cos 2x+\cos x+1>0 \]
を満たす$x$の範囲を求めよ.
(2)$a^2b-3a^2+5b=21$を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ.
(3)正方形の各辺を$n$等分した点から向かい合う辺に垂線を下ろす.このとき,正方形の$4$つの辺とこれらの垂線を利用してできる長方形のうち,正方形でないものの個数を$n$を用いて表せ.
秋田大学 国立 秋田大学 2016年 第3問
$b>0$,$a=2 \sqrt{3}b$とし,原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$を$E$とする.楕円$E$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の媒介変数表示は$x=a \cos \theta$,$y=b \sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$で与えられる.次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P}$で楕円$E$と共通の接線をもつ円を考える.このような円のうち,不等式$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \geqq 1$の表す領域内にある円を$C$とする.円$C$の半径を$r(\theta)$とするとき,$C$の中心を$\theta$と$r(\theta)$を用いて表せ.
(2)$2d=11b$とし,$4$つの頂点が$(d,\ d)$,$(-d,\ d)$,$(-d,\ -d)$,$(d,\ -d)$である正方形$F$を考える.点$\mathrm{P}$が楕円$E$上を動くとき,$(1)$の円$C$の中心は正方形$F$の周上を動くとする.このとき,$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して,$C$の半径$r(\theta)$を求めよ.
(3)$(2)$の$r(\theta)$の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値は$\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{2}b$であることを示せ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2016年 第5問
正方形$\mathrm{ABCD}$の内部の点$\mathrm{P}$に対して$\angle \mathrm{CPD}$が直角であるとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}$の最大値を求めよ.
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2016年 第1問
\begin{mawarikomi}{50mm}{(図は省略)}
$1$辺の長さが$a$の正方形$\mathrm{S}_1$に内接する円を描き,この円に内接する正方形$\mathrm{S}_2$を描いて,正方形$\mathrm{S}_1$から正方形$\mathrm{S}_2$を除いた領域$\mathrm{B}_1$を黒く塗る.次に正方形$\mathrm{S}_2$に内接する円を描き,この円に内接する正方形$\mathrm{S}_3$を描いて,正方形$\mathrm{S}_2$から正方形$\mathrm{S}_3$を除いた領域$\mathrm{W}_1$を白く塗る.同様に$m$番目の正方形$\mathrm{S}_m$の内接円に内接する正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を描き,正方形$\mathrm{S}_m$から正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を除いた領域を黒,白,黒,白と交互に塗ることを繰り返す.ただし,$m$は自然数であるとする.以下の問いに答えよ.
\end{mawarikomi}

(1)$\mathrm{S}_1$から$\mathrm{S}_2$を除いた黒い領域$\mathrm{B}_1$の面積を$a$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{S}_2$から$\mathrm{S}_3$を除いた白い領域$\mathrm{W}_1$の面積を$a$を用いて表せ.
(3)$1$番目の黒い領域$\mathrm{B}_1$から$n$番目の黒い領域$\mathrm{B}_n$までの面積の和を$a$と$n$を用いて表せ.ただし,$n$は自然数であるとする.
(4)黒い領域$\mathrm{B}_1$から$\mathrm{B}_n$までの面積の和において,$n \to \infty$としたときの極限$P$を$a$を用いて表せ.
(5)$1$番目の白い領域$\mathrm{W}_1$から$n$番目の白い領域$\mathrm{W}_n$までの面積の和を求め,$n \to \infty$としたときの極限$Q$を$a$を用いて表せ.次に$\displaystyle \frac{P}{Q}$の値を求めよ.
山形大学 国立 山形大学 2016年 第4問
$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2$,$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$とする$\triangle \mathrm{ABC}$がある.辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{E}$をとり,$\mathrm{E}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{EF}$を下ろし,$\mathrm{EF}=\mathrm{AF}=x (0<x \leqq 2)$とする.また,線分$\mathrm{AF}$の$\mathrm{F}$を越える延長上に$\mathrm{AG}=2 \mathrm{AF}$となる点$\mathrm{G}$をとる.$\mathrm{EF}$,$\mathrm{FG}$を$2$辺とする正方形$\mathrm{EFGH}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の共通部分の面積を$S(x)$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$S(x)$を求めよ.
(2)$xy$平面において,連立不等式$0 \leqq y \leqq S(x)$,$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$の表す領域$D$を考える.点$(1,\ 1)$を通り,$D$の面積を二等分する直線を$\ell$とする.

(i) $D$の面積を求めよ.
(ii) 直線$\ell$の方程式を求めよ.
倉敷芸術科学大学 私立 倉敷芸術科学大学 2016年 第6問
平面上に等間隔に並ぶ$6$本の平行線があり,さらにそれらに直交し,それらと同じ間隔で並ぶ$6$本の平行線があるとき,次の設問に答えよ.

(1)これら$2$組の平行線で作られる長方形は何個あるか.
(2)そのうち正方形ではないものは何個あるか.
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