「極限」について
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(7ページ目:全244問中61問~70問を表示)![お茶の水女子大学](./img/univ/ocha.png)
$0<a<b$を満たす実数$a,\ b$に対し,曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$,$x$軸及び$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形の面積を$S(a,\ b)$で表す.以下の問いに答えよ.
(1)$n$を自然数とする.$S(n,\ 3n)$を求め,この値は$n$によらないことを示せ.
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(n,\ n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ.
(3)次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} S(n,\ n+k) \]
(1)$n$を自然数とする.$S(n,\ 3n)$を求め,この値は$n$によらないことを示せ.
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(n,\ n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ.
(3)次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} S(n,\ n+k) \]
![お茶の水女子大学](./img/univ/ocha.png)
$0<a<b$を満たす実数$a,\ b$に対し,曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$,$x$軸及び$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形の面積を$S(a,\ b)$で表す.以下の問いに答えよ.
(1)$n$を自然数とする.$S(n,\ 3n)$を求め,この値は$n$によらないことを示せ.
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(n,\ n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ.
(3)次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} S(n,\ n+k) \]
(1)$n$を自然数とする.$S(n,\ 3n)$を求め,この値は$n$によらないことを示せ.
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(n,\ n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ.
(3)次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} S(n,\ n+k) \]
![豊橋技術科学大学](./img/univ/toyohashi.png)
直線$L$を$2x+y=4n$とする.ただし,$n$は自然数とする.原点を$\mathrm{O}$とし,直線$L$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$,直線$L$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とした三角形$\mathrm{OAB}$を考える.以下の問いに答えよ.
(1)交点$\mathrm{A}$および交点$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ.
(2)直線$M$を$x=k$(ただし$k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2n$)とするとき,直線$L$と直線$M$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3)$(2)$の直線$M$上の格子点($x$座標および$y$座標がともに整数である点)のうち,三角形$\mathrm{OAB}$の周上および内部にある格子点の総数$T_k$を求めよ.
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の周上にある格子点および内部にある格子点の総数$T_n$を求めよ.
(5)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S_n$を求めよ.また,$(4)$で得られた格子点の総数$T_n$と面積$S_n$の比に関する次の極限を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n} \]
(1)交点$\mathrm{A}$および交点$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ.
(2)直線$M$を$x=k$(ただし$k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2n$)とするとき,直線$L$と直線$M$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3)$(2)$の直線$M$上の格子点($x$座標および$y$座標がともに整数である点)のうち,三角形$\mathrm{OAB}$の周上および内部にある格子点の総数$T_k$を求めよ.
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の周上にある格子点および内部にある格子点の総数$T_n$を求めよ.
(5)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S_n$を求めよ.また,$(4)$で得られた格子点の総数$T_n$と面積$S_n$の比に関する次の極限を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n} \]
![自治医科大学](./img/univ/jichi.png)
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{\sqrt{(n+2)(n+3)}-\sqrt{(n-2)(n-3)} \right\}=a$とする.極限値$a$を求めよ.
![東京理科大学](./img/univ/tokyoridai.png)
以下の問いに答えよ.($n$は自然数とする.)
(1)$x=a \tan \theta$とおくことにより,定積分
\[ \int_0^a \frac{dx}{a^2+x^2} \quad (a>0) \]
を求めよ.
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{2n} \frac{n}{4n^2+k^2} \]
を求めよ.
(3)以下の問いに答えよ.
(i) 実数$x \geqq 0$に対して
\[ \frac{1}{1+x^2}-x^{2n+2} \leqq 1+\sum_{k=1}^n (-x^2)^k \leqq \frac{1}{1+x^2}+x^{2n+2} \]
を示せ.
(ii) 数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2n+1} \]
により定める.$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
(1)$x=a \tan \theta$とおくことにより,定積分
\[ \int_0^a \frac{dx}{a^2+x^2} \quad (a>0) \]
を求めよ.
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{2n} \frac{n}{4n^2+k^2} \]
を求めよ.
(3)以下の問いに答えよ.
(i) 実数$x \geqq 0$に対して
\[ \frac{1}{1+x^2}-x^{2n+2} \leqq 1+\sum_{k=1}^n (-x^2)^k \leqq \frac{1}{1+x^2}+x^{2n+2} \]
を示せ.
(ii) 数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2n+1} \]
により定める.$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
![東京理科大学](./img/univ/tokyoridai.png)
次の問いに答えなさい.
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} {\left( \frac{x+3}{x-3} \right)}^x$を求めなさい.
(2)座標空間において,点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ 3,\ -1)$をとり,$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする.実数$t$が定める点$\mathrm{P}(t,\ -t,\ 3t)$に対して,直線$\ell$上に点$\mathrm{Q}$を,線分$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$が直交するようにとる.
(i) 点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい.
(ii) $t$を変化させるとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となるような$t$の値を求めなさい.
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} {\left( \frac{x+3}{x-3} \right)}^x$を求めなさい.
(2)座標空間において,点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ 3,\ -1)$をとり,$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする.実数$t$が定める点$\mathrm{P}(t,\ -t,\ 3t)$に対して,直線$\ell$上に点$\mathrm{Q}$を,線分$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$が直交するようにとる.
(i) 点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい.
(ii) $t$を変化させるとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となるような$t$の値を求めなさい.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
$N$を$3$以上の自然数とする.$1$から$N$までの数字が書かれた$N$枚のカードを用意し,$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の二人で次のようなゲームを行う.まず$\mathrm{A}$は,$1$から$N$までの数のうちから一つ選びそれを$K$とし,その数は$\mathrm{B}$に知らせずにおく.その後,以下の試行を何度も繰り返す.
$\mathrm{B}$は$N$枚のカードから無作為に一枚引いて$\mathrm{A}$にその数を伝え,$\mathrm{A}$は引かれた数字が$K$より大きければ「上」,$K$以下であれば「以下」と$\mathrm{B}$に答え,$\mathrm{B}$はその答から$K$の範囲を絞り込む.引いたカードは元へ戻す.
このとき,$n$回以下の試行で$\mathrm{B}$が$K$を確定できる確率を$P_N(n)$で表す.次の問に答えよ.
(1)$K=1$のとき,$P_3(1)$,$P_3(2)$,$P_3(3)$を求めよ.
(2)$K=2$のとき,$P_3(1)$,$P_3(2)$,$P_3(3)$を求めよ.
(3)$K=1,\ 2,\ \cdots,\ N$について$P_N(n)$を求めよ.
(4)自然数$c$に対して,極限値$\displaystyle \lim_{N \to \infty} P_N(cN)$を求めよ.
$\mathrm{B}$は$N$枚のカードから無作為に一枚引いて$\mathrm{A}$にその数を伝え,$\mathrm{A}$は引かれた数字が$K$より大きければ「上」,$K$以下であれば「以下」と$\mathrm{B}$に答え,$\mathrm{B}$はその答から$K$の範囲を絞り込む.引いたカードは元へ戻す.
このとき,$n$回以下の試行で$\mathrm{B}$が$K$を確定できる確率を$P_N(n)$で表す.次の問に答えよ.
(1)$K=1$のとき,$P_3(1)$,$P_3(2)$,$P_3(3)$を求めよ.
(2)$K=2$のとき,$P_3(1)$,$P_3(2)$,$P_3(3)$を求めよ.
(3)$K=1,\ 2,\ \cdots,\ N$について$P_N(n)$を求めよ.
(4)自然数$c$に対して,極限値$\displaystyle \lim_{N \to \infty} P_N(cN)$を求めよ.
![福岡大学](./img/univ/fukuoka.png)
曲線$y=e^{-x^2}$上の$3$点$\mathrm{P}(0,\ 1)$,$\mathrm{Q}(t,\ e^{-t^2})$,$\mathrm{R}(-t,\ e^{-t^2})$を通る円を$C$とする.円$C$の半径$r$を$t$の関数とみて$r(t)$と表すと,$r(t)=[ ]$である.また,極限$\displaystyle \lim_{t \to 0} r(t)$の値は$[ ]$である.ただし,$e$は自然対数の底とする.
![日本女子大学](./img/univ/nihonjoshi.png)
$n$を自然数とする.白玉$4$個と赤玉$8$個が入っている袋から,玉を$1$個取り出し,色を見てからもとにもどす試行を$n$回繰り返すとき,白玉が偶数回出る確率を$p_n$とする.ただし,$0$は偶数と考える.
(1)$p_{n+1}$を$p_n$で表せ.
(2)数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ.
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n$を求めよ.
(1)$p_{n+1}$を$p_n$で表せ.
(2)数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ.
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n$を求めよ.
![東京理科大学](./img/univ/tokyoridai.png)
次の問いに答えなさい.
(1)$a$を実数の定数とし,$x$の関数$f(x)=ax^2+4ax+a^2-1$を考える.区間$-4 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最大値が$5$であるとき,定数$a$の値を求めなさい.
(2)$f(x)$および$g(x)$は$x=a$で微分可能な関数とする.このとき,極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h} \]
を$f(a)$,$g(a)$および微分係数$f^\prime(a)$,$g^\prime(a)$を用いて表しなさい.
(1)$a$を実数の定数とし,$x$の関数$f(x)=ax^2+4ax+a^2-1$を考える.区間$-4 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最大値が$5$であるとき,定数$a$の値を求めなさい.
(2)$f(x)$および$g(x)$は$x=a$で微分可能な関数とする.このとき,極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h} \]
を$f(a)$,$g(a)$および微分係数$f^\prime(a)$,$g^\prime(a)$を用いて表しなさい.