「極限」について
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国立 お茶の水女子大学 2015年 第2問$0<a<b$を満たす実数$a,\ b$に対し，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$，$x$軸及び$2$直線$x=a$，$x=b$で囲まれた図形の面積を$S(a,\ b)$で表す．以下の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とする．$S(n,\ 3n)$を求め，この値は$n$によらないことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(n,\ n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} S(n,\ n+k) \]
(1)$n$を自然数とする．$S(n,\ 3n)$を求め，この値は$n$によらないことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(n,\ n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} S(n,\ n+k) \]
国立 お茶の水女子大学 2015年 第2問$0<a<b$を満たす実数$a,\ b$に対し，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$，$x$軸及び$2$直線$x=a$，$x=b$で囲まれた図形の面積を$S(a,\ b)$で表す．以下の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とする．$S(n,\ 3n)$を求め，この値は$n$によらないことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(n,\ n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} S(n,\ n+k) \]
(1)$n$を自然数とする．$S(n,\ 3n)$を求め，この値は$n$によらないことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(n,\ n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} S(n,\ n+k) \]
国立 豊橋技術科学大学 2015年 第1問直線$L$を$2x+y=4n$とする．ただし，$n$は自然数とする．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$L$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，直線$L$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とした三角形$\mathrm{OAB}$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)交点$\mathrm{A}$および交点$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)直線$M$を$x=k$（ただし$k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2n$）とするとき，直線$L$と直線$M$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の直線$M$上の格子点（$x$座標および$y$座標がともに整数である点）のうち，三角形$\mathrm{OAB}$の周上および内部にある格子点の総数$T_k$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の周上にある格子点および内部にある格子点の総数$T_n$を求めよ．
(5)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S_n$を求めよ．また，$(4)$で得られた格子点の総数$T_n$と面積$S_n$の比に関する次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n} \]
(1)交点$\mathrm{A}$および交点$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)直線$M$を$x=k$（ただし$k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2n$）とするとき，直線$L$と直線$M$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の直線$M$上の格子点（$x$座標および$y$座標がともに整数である点）のうち，三角形$\mathrm{OAB}$の周上および内部にある格子点の総数$T_k$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の周上にある格子点および内部にある格子点の総数$T_n$を求めよ．
(5)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S_n$を求めよ．また，$(4)$で得られた格子点の総数$T_n$と面積$S_n$の比に関する次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n} \]
私立 自治医科大学 2015年 第20問$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{\sqrt{(n+2)(n+3)}-\sqrt{(n-2)(n-3)} \right\}=a$とする．極限値$a$を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第3問以下の問いに答えよ．（$n$は自然数とする．）
(1)$x=a \tan \theta$とおくことにより，定積分
\[ \int_0^a \frac{dx}{a^2+x^2} \quad (a>0) \]
を求めよ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{2n} \frac{n}{4n^2+k^2} \]
を求めよ．
(3)以下の問いに答えよ．
(i) 実数$x \geqq 0$に対して
\[ \frac{1}{1+x^2}-x^{2n+2} \leqq 1+\sum_{k=1}^n (-x^2)^k \leqq \frac{1}{1+x^2}+x^{2n+2} \]
を示せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2n+1} \]
により定める．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(1)$x=a \tan \theta$とおくことにより，定積分
\[ \int_0^a \frac{dx}{a^2+x^2} \quad (a>0) \]
を求めよ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{2n} \frac{n}{4n^2+k^2} \]
を求めよ．
(3)以下の問いに答えよ．
(i) 実数$x \geqq 0$に対して
\[ \frac{1}{1+x^2}-x^{2n+2} \leqq 1+\sum_{k=1}^n (-x^2)^k \leqq \frac{1}{1+x^2}+x^{2n+2} \]
を示せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2n+1} \]
により定める．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第2問次の問いに答えなさい．
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} {\left( \frac{x+3}{x-3} \right)}^x$を求めなさい．
(2)座標空間において，点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ -1)$をとり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする．実数$t$が定める点$\mathrm{P}(t,\ -t,\ 3t)$に対して，直線$\ell$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$が直交するようにとる．
(i) 点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい．
(ii) $t$を変化させるとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となるような$t$の値を求めなさい．
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} {\left( \frac{x+3}{x-3} \right)}^x$を求めなさい．
(2)座標空間において，点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ -1)$をとり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする．実数$t$が定める点$\mathrm{P}(t,\ -t,\ 3t)$に対して，直線$\ell$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$が直交するようにとる．
(i) 点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい．
(ii) $t$を変化させるとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となるような$t$の値を求めなさい．
私立 早稲田大学 2015年 第4問$N$を$3$以上の自然数とする．$1$から$N$までの数字が書かれた$N$枚のカードを用意し，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の二人で次のようなゲームを行う．まず$\mathrm{A}$は，$1$から$N$までの数のうちから一つ選びそれを$K$とし，その数は$\mathrm{B}$に知らせずにおく．その後，以下の試行を何度も繰り返す．
$\mathrm{B}$は$N$枚のカードから無作為に一枚引いて$\mathrm{A}$にその数を伝え，$\mathrm{A}$は引かれた数字が$K$より大きければ「上」，$K$以下であれば「以下」と$\mathrm{B}$に答え，$\mathrm{B}$はその答から$K$の範囲を絞り込む．引いたカードは元へ戻す．
このとき，$n$回以下の試行で$\mathrm{B}$が$K$を確定できる確率を$P_N(n)$で表す．次の問に答えよ．
(1)$K=1$のとき，$P_3(1)$，$P_3(2)$，$P_3(3)$を求めよ．
(2)$K=2$のとき，$P_3(1)$，$P_3(2)$，$P_3(3)$を求めよ．
(3)$K=1,\ 2,\ \cdots,\ N$について$P_N(n)$を求めよ．
(4)自然数$c$に対して，極限値$\displaystyle \lim_{N \to \infty} P_N(cN)$を求めよ．
$\mathrm{B}$は$N$枚のカードから無作為に一枚引いて$\mathrm{A}$にその数を伝え，$\mathrm{A}$は引かれた数字が$K$より大きければ「上」，$K$以下であれば「以下」と$\mathrm{B}$に答え，$\mathrm{B}$はその答から$K$の範囲を絞り込む．引いたカードは元へ戻す．
このとき，$n$回以下の試行で$\mathrm{B}$が$K$を確定できる確率を$P_N(n)$で表す．次の問に答えよ．
(1)$K=1$のとき，$P_3(1)$，$P_3(2)$，$P_3(3)$を求めよ．
(2)$K=2$のとき，$P_3(1)$，$P_3(2)$，$P_3(3)$を求めよ．
(3)$K=1,\ 2,\ \cdots,\ N$について$P_N(n)$を求めよ．
(4)自然数$c$に対して，極限値$\displaystyle \lim_{N \to \infty} P_N(cN)$を求めよ．
私立 福岡大学 2015年 第3問曲線$y=e^{-x^2}$上の$3$点$\mathrm{P}(0,\ 1)$，$\mathrm{Q}(t,\ e^{-t^2})$，$\mathrm{R}(-t,\ e^{-t^2})$を通る円を$C$とする．円$C$の半径$r$を$t$の関数とみて$r(t)$と表すと，$r(t)=[ ]$である．また，極限$\displaystyle \lim_{t \to 0} r(t)$の値は$[ ]$である．ただし，$e$は自然対数の底とする．
私立 日本女子大学 2015年 第4問$n$を自然数とする．白玉$4$個と赤玉$8$個が入っている袋から，玉を$1$個取り出し，色を見てからもとにもどす試行を$n$回繰り返すとき，白玉が偶数回出る確率を$p_n$とする．ただし，$0$は偶数と考える．
(1)$p_{n+1}$を$p_n$で表せ．
(2)数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n$を求めよ．
(1)$p_{n+1}$を$p_n$で表せ．
(2)数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n$を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第2問次の問いに答えなさい．
(1)$a$を実数の定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+4ax+a^2-1$を考える．区間$-4 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最大値が$5$であるとき，定数$a$の値を求めなさい．
(2)$f(x)$および$g(x)$は$x=a$で微分可能な関数とする．このとき，極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h} \]
を$f(a)$，$g(a)$および微分係数$f^\prime(a)$，$g^\prime(a)$を用いて表しなさい．
(1)$a$を実数の定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+4ax+a^2-1$を考える．区間$-4 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最大値が$5$であるとき，定数$a$の値を求めなさい．
(2)$f(x)$および$g(x)$は$x=a$で微分可能な関数とする．このとき，極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h} \]
を$f(a)$，$g(a)$および微分係数$f^\prime(a)$，$g^\prime(a)$を用いて表しなさい．