$N$を$3$以上の自然数とする．$1$から$N$までの数字が書かれた$N$枚のカードを用意し，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の二人で次のようなゲームを行う．まず$\mathrm{A}$は，$1$から$N$までの数のうちから一つ選びそれを$K$とし，その数は$\mathrm{B}$に知らせずにおく．その後，以下の試行を何度も繰り返す．
$\mathrm{B}$は$N$枚のカードから無作為に一枚引いて$\mathrm{A}$にその数を伝え，$\mathrm{A}$は引かれた数字が$K$より大きければ「上」，$K$以下であれば「以下」と$\mathrm{B}$に答え，$\mathrm{B}$はその答から$K$の範囲を絞り込む．引いたカードは元へ戻す．
このとき，$n$回以下の試行で$\mathrm{B}$が$K$を確定できる確率を$P_N(n)$で表す．次の問に答えよ．
(1) $K=1$のとき，$P_3(1)$，$P_3(2)$，$P_3(3)$を求めよ．
(2) $K=2$のとき，$P_3(1)$，$P_3(2)$，$P_3(3)$を求めよ．
(3) $K=1,\ 2,\ \cdots,\ N$について$P_N(n)$を求めよ．
(4) 自然数$c$に対して，極限値$\displaystyle \lim_{N \to \infty} P_N(cN)$を求めよ．