関数$\displaystyle f(x)=(x-1)^2 \sqrt{2x+1} \left( x \geqq -\frac{1}{2} \right)$を考える．

(1)$f^\prime(x)$を求め，$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{1}{2}+0} f^\prime(x)$を調べよ．ただし，$x>a$の範囲で$x$が$a$に限りなく近づくとき，$x \to a+0$と表す．
(2)関数$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

$0<t<1$とする．$1$辺の長さが$1$である正五角形$\mathrm{ABCDE}$において，線分$\mathrm{AD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BE}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{ED}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{BD}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{AE}}, \overrightarrow{\mathrm{BE}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{CE}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{BA}}, \sin \frac{\pi}{10}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \]
を証明なしで用いてよい．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$，$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \angle \mathrm{APQ}=\frac{\pi}{2}$となる$t$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2},\ y=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$のとき，$x^2+y^2$の値を求めよ．
(2)$x$の整式$f(x)$を$x^2-x-6$で割った余りが$3ax+15$で，$f(x)$を$x^2-7x+12$で割った余りが$5x-3$であるとき，定数$a$の値を求めよ．
(3)${(2x-3y)}^5$の展開式における，$x^2y^3$の係数を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$x \leqq 5$のとき，不等式$\sqrt{5-x}>x-2$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$\log_2 x+\log_8 x=(\log_2 x)(\log_8 x)$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$のとき，不等式
\[ 2(\cos 4x-1) \cos x-3(\cos 3x+\cos x)>0 \]
を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$に対して，$\overrightarrow{p}=-\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\frac{1}{5}(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b})$とする．$|\overrightarrow{p}|=5$，$|\overrightarrow{q}|=2$であるとき，次の問いに答えよ．

(i) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$をそれぞれ$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を用いて表せ．
(ii) $\sqrt{2} \, |\overrightarrow{a}|=3 \, |\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．

(2)関数$\displaystyle f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-\frac{7}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．

(i) $t=\cos x-\sin x$とおく．$t$のとりうる値の範囲を求め，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(ii) $f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \log (2x+1) \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx=[ロ]$

(iii) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin 2x| \, dx=[ハ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \right)=[ニ] \]
(3)方程式$\displaystyle \log_2 (x-10)=3+\log_2 \frac{3}{x}$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x<2\pi$において，$-\sin x+\sqrt{3} \cos x$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)以下の文章に「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものを入れよ．ただし，$n$は自然数とする．

(i) $n$が$6$の倍数であることは，$n$が$3$の倍数であるための$[チ]$．
(ii) $n$が奇数であることは，$n^2$が奇数であるための$[リ]$．

次の問に答えなさい．

(1)$2$つの解$\alpha=1+\sqrt{2}$，$\beta=\sqrt{3}$をもつ$2$次方程式を一つ求めなさい．
(2)ある$2$次方程式$f(x)=0$の解の$1$つが$\alpha=s+t \sqrt{2}$であった．このとき，もう一つの解$\beta$に関する次の議論は正しくないことを説明しなさい．
\begin{jituwaku}
$\alpha=s+t \sqrt{2}$から簡単な計算により，$\alpha^2-2s \alpha+s^2-2t^2=0$を得る．これは，$\alpha$が$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$の解であることを意味することから，$f(x)=x^2-2sx+s^2-2t^2$がわかる．よって，$f(x)=0$のもう一つの解$\beta$は$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$を解いて$\beta=s-t \sqrt{2}$と求まる．
\end{jituwaku}
(3)$2$次方程式$x^2+px+q=0$において，$p,\ q$は有理数とする．$\alpha=1+\sqrt{2}$がこの方程式の解であるとき，もう一方の解$\beta$を求めなさい．

$xyz$空間の原点を$\mathrm{O}$とし，点$(0,\ 0,\ 1)$と点$(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$は，時刻$t=0$のとき$(-4,\ 0,\ 0)$にあって，$x$軸上を正の向きに速さ$1$で動いている．点$\mathrm{Q}$は，$t=0$のとき$(0,\ 0,\ 1)$にあって，直線$\ell$上を$x$座標が増えるように速さ$2$で動いている．

(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$t$の式で表せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を$t$の式で表せ．
(3)$-0.33 \leqq t \leqq 2.6$のときの$S$の最大値と最小値，およびそれらをとる$t$の値を求めよ．

関数
\[ f(x)=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2} \quad (x \neq 1,\ x \neq 2) \]
について，以下の問に答えなさい．

(1)$2$つの関数$\displaystyle y=\frac{2}{x-1} (x \neq 1)$と$\displaystyle y=-\frac{1}{x-2} (x \neq 2)$のグラフの概形を同じ座標平面上に描きなさい．
(2)$f(x)$の増減表を作成し，$f(x)$の極小値が$3+2 \sqrt{2}$，極大値が$3-2 \sqrt{2}$となることを示しなさい．
(3)関数$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上に描きなさい．

次の$(1)$～$(6)$の中から$4$つを選択し解答しなさい．

(1)$403a^4-2015a^2+1612$を因数分解しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}x-y=-4$，$ax-y=14$，$3x+y=46$が点$\mathrm{P}$で交わるとき，点$\mathrm{P}$の座標と定数$a$の値を求めなさい．
(3)$\sqrt{n^2+35}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めなさい．
(4)$3$点$\mathrm{A}(-2,\ -2)$，$\mathrm{B}(1,\ 5)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$を頂点とする三角形の面積を求めなさい．
(5)$12$人の学生を$4$人ずつ$3$グループに分ける分け方は何通りあるか答えなさい．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}$を求めなさい．