座標平面上に円$x^2+y^2=4$と円上の点$\mathrm{P}(1,\ -\sqrt{3})$，$\mathrm{Q}(-1,\ -\sqrt{3})$が与えられている．$0<\theta<\pi$のとき，円上の点を$\mathrm{R}(2\cos \theta,\ 2\sin \theta)$とし，$\angle \mathrm{QPR}=\alpha,\ \angle \mathrm{PQR}=\beta$とする．このとき，次の問(1)～(3)に答えよ．

(1)点$(2,\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-2,\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，弧$\mathrm{PAR}$に対する中心角と弧$\mathrm{QBR}$に対する中心角を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\alpha,\ \beta$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$2 \sin \alpha=\sqrt{3} \sin \beta$となるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

次の空欄ア～シに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)方程式$x^3-4x^2+ax+b=0$の$1$つの解が$1-2i$であるとき，実数解は$[ア]$であり，$a=[イ]$，$b=[ウ]$である．ただし，定数$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(2)サイコロを続けて$2$回振り，最初に出た目が$a$，次に出た目が$b$ならば座標平面上に直線$\ell:y=ax-b$を描く．この試行において，直線$\ell$が放物線$y=x^2$と相異なる$2$点で交わる確率は$[エ]$である．
(3)不等式$x^2+y^2+6x+4y-12 \leqq 0$の表す領域の面積は$[オ]$である．
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$であるとき，$x^3+y^3-2xy^2=[カ]$である．
(5)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，$\sqrt{3}\cos \theta-\sin \theta=r \sin (\theta +\alpha)$の形に変形すると，$r=[キ]$，$\alpha=[ク]$である．ただし，$0 \leqq \alpha < 2\pi$とする．
(6)実数からなる数列$\{a_n\}$が$a_{n+1}^3=2a_n^2,\ a_1=4$を満たすとき，$\log_2a_n=[ケ]$である．
(7)図のように東西$6$本，南北$6$本の道路で区画された場所がある．南西の端の地点$\mathrm{A}$から北東の端の地点$\mathrm{B}$へ行く最短ルートは$[コ]$通りある．
（図は省略）
(8)$3$次関数$f(x)=x^3-3a^2x+b (a>0)$が極大値$13$と極小値$-19$を持つならば$a=[サ]$，$b=[シ]$である．

次の空欄ア～サに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$のとき，$x^3+y^3$の値は$[ア]$である．
(2)互いに異なる定数$a,\ b,\ c$が$\displaystyle \frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}$を満たすとき，$\displaystyle \frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}$のとる値は$[イ]$である．ただし，$abc \neq 0$とする．
(3)白玉$3$個と黒玉$3$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてもとに戻す．この試行を$3$回繰り返すとき，白玉を$2$回取り出す確率は$[ウ]$である．
(4)整式$P(x)$を$x-1$で割った余りが$-2$，$x-2$で割った余りが3，$x-3$で割った余りが8ならば，$P(x)$を$(x-1)(x-2)(x-3)$で割った余りは$[エ]$である．
(5)数列$\{a_n\}$は$a_1=-7$と漸化式$2a_{n+1}=3a_n+8 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．この数列の一般項は$a_n=[オ]$である．
(6)平行四辺形ABCDにおいて，辺ABを$2:1$に内分する点をE，辺BCの中点をF，辺CDの中点をGとする．線分CEと線分FGの交点をHとすると，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=[カ]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+[キ]\overrightarrow{\mathrm{AD}}$となる．
(7)関数$f(x)=x^2-2ax+a+6$がすべての実数$x$に対して$f(x)>0$を満たすならば，定数$a$の値の取りうる範囲は，$[ク]<a<[ケ]$となる．
(8)関数$f(x)=ax^2+bx+1$が$f(1)=-6$と$\displaystyle \int_0^3 \{ f^\prime(x) \}^2 \, dx=63$を満たすならば，定数$a,\ b$の値は$a=[コ],\ b=[サ]$である．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数を表す．

正の数$a$に対して，空間内の$3$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{\sqrt{a}},\ 0,\ 0 \right)$，$\mathrm{B} (0,\ \sqrt{a},\ 0)$，$\mathrm{C} (0,\ 0,\ \sqrt{a})$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$が与えられている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さ$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$a$で表せ．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$を$\theta$とおく．$\cos \theta$を$a$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を$a$で表せ．
(4)$\displaystyle \frac{S}{\mathrm{BC}}$が最小値をとるときの$a$の値とその最小値を求めよ．

次の空欄ア～キに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$0 \leqq \theta < \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta-\sin^2 \theta$の最小値は[ア]であり，そのときの$\theta$の値は[イ]である．
(2)$\displaystyle \frac{a^x-a^{-x}}{2}=1$のとき，$x=\log_a y$と表せば，$y=[ウ]$である．ただし，$a>0$，$a \neq 1$とする．
(3)さいころを$3$回投げ，出た目を順に，百の位，十の位，一の位にして$3$桁の自然数をつくる．このとき，この自然数が$6$で割り切れ，さらに桁の並びを逆にしても$6$で割り切れる確率は[エ]である．
(4)最高次の係数が$1$の整式$P(x)$で，条件$P(2)=0,\ P(0)=1,\ P(1)=2$をみたすもののうち，最も次数の低いものは$P(x)=[オ]$である．
(5)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(6,\ 2)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の外心の座標は$([カ],\ [キ])$である．

次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\sqrt{2} \div \sqrt[4]{4} \times \sqrt[12]{32} \div \sqrt[6]{2}=2^a$とすると$a=[ア]$である．
(2)座標空間に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{C}(x,\ y,\ z)$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$およびベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と垂直である．このとき，$(x,\ y,\ z)=[イ]$である．ただし，$x>0$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$とする．
(3)$i$を虚数単位として，複素数$x=\sqrt{3}+\sqrt{7}i$を考える．$x$と共役な複素数を$\overline{x}$とするとき，$x^3+\overline{x}^3$の値は$[ウ]$である．
(4)$\log_2x+\log_4y=1$のとき，$x^2+y$の最小値は$[エ]$である．
(5)$4$つの数字$0,\ 1,\ 2,\ 6$から，$18$で割り切れる$4$桁の数を作るとすると$[オ]$通りできる．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．
(6)$\cos 75^\circ$の値は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle \left( x^3-\frac{1}{2} \right)^{10}$の展開式における$x^{15}$の係数は$[キ]$である．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\angle \mathrm{OAC}=40^\circ$，$\angle \mathrm{OCB}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{AOC}=[ク]$であり，$\angle \mathrm{ABO}=[ケ]$である．

$\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \right)$の値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{D}(1,\ 1,\ -2)$について，次の各問いに答えよ．また，$0<m<1$とする．

(1)$\mathrm{AB}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{P}_m$とし，$\mathrm{OP}_m$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{Q}_m$とする．このとき，$\mathrm{Q}_{\frac{1}{5}}$の座標は，$\displaystyle \left( \frac{[ラ]}{[リ][ル]},\ \frac{[レ]}{[ロ][ワ]},\ [ヲ] \right)$である．

(2)$\mathrm{OC}$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{R}_m$，$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{R}_m \mathrm{M}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{S}_m$とすると，$\mathrm{S}_{\frac{1}{2}}$の座標は，$\displaystyle \left( \frac{[ン][あ]}{[い][う]},\ \frac{[え]}{[お][か]},\ \frac{[き]}{[く]} \right)$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{CQ}_m}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$について，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_m} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{1}{m+1}(-[け]m^2+[こ]m-[さ]) \]
である．したがって，この$2$つのベクトルは垂直にはなりえない．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{CQ}_m}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるような$m$の値は，$\displaystyle m=\frac{[し]}{[す]}$である．

(5)$\displaystyle \frac{m+1}{m} \times \mathrm{Q}_m \mathrm{S}_m$が最小となるのは$\displaystyle m=\frac{[せ][そ]}{[た][ち]}$のときであり，その最小値は$\displaystyle \sqrt{\frac{[つ][て]}{[と][な]}}$である．

$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$のとき，$\displaystyle -\frac{8}{13} \left( \tan^3 \theta+\frac{1}{\tan^3 \theta} \right)$の値を求めよ．

辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$のそれぞれの長さが，$6$，$5$，$7$となる三角形$\mathrm{ABC}$について考える．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$の長さを$L$とするとき，$\displaystyle \frac{12L}{\sqrt{105}}$の値を求めよ．