「条件」について
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私立 天使大学 2016年 第5問次の問いに答えなさい．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=10$，$\mathrm{CA}=2 \sqrt{5}$であり，この三角形は円$\mathrm{O}$に内接している．また点$\mathrm{A}$における円$\mathrm{O}$の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{20}{3}$である．次の問いに答えなさい．
(i) $\mathrm{DC}=\frac{\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}}{\mkakko{$\mathrm{c}$}}$，$\mathrm{AB}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}$である．
(ii) 円$\mathrm{O}$の半径は$\mkakko{$\mathrm{f}$}$であり，$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}}{\mkakko{$\mathrm{i}$}}$である．
(2)実数$x$に対して$3$つの条件$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$がある．ただし$a$は定数である．
$\mathrm{P}:2x-5 \geqq x+6$
$\mathrm{Q}:x^2-(2a-1)x+a^2-a-12 \leqq 0$
$\mathrm{R}:13 \leqq x \leqq 16$
次の問いに答えなさい．
(i) $\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \leqq a$であり，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$} \leqq a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$} \mkakko{$\mathrm{o}$}$である．
(ii) $(ⅰ)$より，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件で，かつ$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となることを満たす定数$a$のうち整数は，小さい順に$\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}$，$\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}$，$\mkakko{$\mathrm{t}$} \mkakko{$\mathrm{u}$}$である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=10$，$\mathrm{CA}=2 \sqrt{5}$であり，この三角形は円$\mathrm{O}$に内接している．また点$\mathrm{A}$における円$\mathrm{O}$の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{20}{3}$である．次の問いに答えなさい．
(i) $\mathrm{DC}=\frac{\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}}{\mkakko{$\mathrm{c}$}}$，$\mathrm{AB}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}$である．
(ii) 円$\mathrm{O}$の半径は$\mkakko{$\mathrm{f}$}$であり，$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}}{\mkakko{$\mathrm{i}$}}$である．
(2)実数$x$に対して$3$つの条件$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$がある．ただし$a$は定数である．
$\mathrm{P}:2x-5 \geqq x+6$
$\mathrm{Q}:x^2-(2a-1)x+a^2-a-12 \leqq 0$
$\mathrm{R}:13 \leqq x \leqq 16$
次の問いに答えなさい．
(i) $\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \leqq a$であり，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$} \leqq a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$} \mkakko{$\mathrm{o}$}$である．
(ii) $(ⅰ)$より，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件で，かつ$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となることを満たす定数$a$のうち整数は，小さい順に$\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}$，$\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}$，$\mkakko{$\mathrm{t}$} \mkakko{$\mathrm{u}$}$である．
公立 首都大学東京 2016年 第3問大小$2$つのサイコロを投げて出る目の値をそれぞれ$p,\ q$とし，$6$以下の自然数$n$のうち条件
\[ (n-p)(n-q)<0 \]
をみたすものすべてをホワイトボードに書くものとする．以下の問いに答えなさい．
(1)ホワイトボードに$2$だけが書かれる確率を求めなさい．
(2)ホワイトボードに何も書かれない確率を求めなさい．
(3)ホワイトボードに書かれる自然数全体の集合を$A$とする．ただし，何も書かれないとき$A$は空集合とする．$6$以下の素数全体の集合を$B$とするとき，$A$が$B$の部分集合となる確率を求めなさい．
\[ (n-p)(n-q)<0 \]
をみたすものすべてをホワイトボードに書くものとする．以下の問いに答えなさい．
(1)ホワイトボードに$2$だけが書かれる確率を求めなさい．
(2)ホワイトボードに何も書かれない確率を求めなさい．
(3)ホワイトボードに書かれる自然数全体の集合を$A$とする．ただし，何も書かれないとき$A$は空集合とする．$6$以下の素数全体の集合を$B$とするとき，$A$が$B$の部分集合となる確率を求めなさい．
公立 愛知県立大学 2016年 第4問座標平面上に楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$と放物線$y^2=x-t$があり，$t>0$とする．この楕円と放物線の共有点が$2$個であるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$t$の条件を求めよ．
(2)$2$個の共有点の$x$座標を$t$を用いて表せ．
(3)$2$個の共有点における放物線の接線が垂直に交わるように$t$の値を定めよ．
(1)$t$の条件を求めよ．
(2)$2$個の共有点の$x$座標を$t$を用いて表せ．
(3)$2$個の共有点における放物線の接線が垂直に交わるように$t$の値を定めよ．
公立 首都大学東京 2016年 第1問$a$と$b$を$0 \leqq a \leqq 1$，$0 \leqq b<1$をみたす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=a,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}({a_n}^2+b) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$c=1-\sqrt{1-b}$とおく．以下の問いに答えなさい．
(1)$0 \leqq a_n \leqq 1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle a_{n+1}-c=\frac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c)$が成り立つことを示しなさい．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=c$が成り立つことを示しなさい．
\[ a_1=a,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}({a_n}^2+b) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$c=1-\sqrt{1-b}$とおく．以下の問いに答えなさい．
(1)$0 \leqq a_n \leqq 1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle a_{n+1}-c=\frac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c)$が成り立つことを示しなさい．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=c$が成り立つことを示しなさい．
公立 公立はこだて未来大学 2016年 第2問関数$f(x)=1-|ax(1-x)-1|$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．
(1)$ax(1-x)-1$が常に負になるための$a$の条件を求めよ．
(2)$a=6$のとき，$y=f(x)$のグラフを描け．
(3)関数$f(x)$の最大値を$M(a)$とする．$a$がすべての正の実数値をとって変化するとき，点$(a,\ M(a))$を座標平面上に図示せよ．
(4)直線$y=x$と$y=f(x)$のグラフが$3$つの共有点をもつときの$a$の値を求めよ．
(1)$ax(1-x)-1$が常に負になるための$a$の条件を求めよ．
(2)$a=6$のとき，$y=f(x)$のグラフを描け．
(3)関数$f(x)$の最大値を$M(a)$とする．$a$がすべての正の実数値をとって変化するとき，点$(a,\ M(a))$を座標平面上に図示せよ．
(4)直線$y=x$と$y=f(x)$のグラフが$3$つの共有点をもつときの$a$の値を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2016年 第3問$a,\ b$を実数とする．関数$f(x)=x^3-3a^2x+2b$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$が単調に増加するとき，$a$についての条件を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフが$x$軸と異なる$3$点で交わるための条件を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が$(2)$で求めた条件をみたすとき，点$(a,\ b)$が存在する領域を座標平面上に図示せよ．
(1)$f(x)$が単調に増加するとき，$a$についての条件を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフが$x$軸と異なる$3$点で交わるための条件を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が$(2)$で求めた条件をみたすとき，点$(a,\ b)$が存在する領域を座標平面上に図示せよ．
公立 公立はこだて未来大学 2016年 第5問$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．
(1)三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ．
\[ 2 \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \]
(2)数学的帰納法によって，次の等式を証明せよ．
\[ 2 \sin \frac{\theta}{2} \sum_{l=1}^n \cos l \theta=\sin \left( n+\frac{1}{2} \right) \theta-\sin \frac{\theta}{2} \]
(3)$m$を整数とする．$\theta \neq 2m\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．ただし，等号が成立する条件は調べなくてよい．
\[ |\sum_{l=1|^n \cos l \theta} \leqq \frac{1}{2} \left( 1+{|\sin \displaystyle\frac{\theta|{2}}}^{-1} \right) \]
(1)三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ．
\[ 2 \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \]
(2)数学的帰納法によって，次の等式を証明せよ．
\[ 2 \sin \frac{\theta}{2} \sum_{l=1}^n \cos l \theta=\sin \left( n+\frac{1}{2} \right) \theta-\sin \frac{\theta}{2} \]
(3)$m$を整数とする．$\theta \neq 2m\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．ただし，等号が成立する条件は調べなくてよい．
\[ |\sum_{l=1|^n \cos l \theta} \leqq \frac{1}{2} \left( 1+{|\sin \displaystyle\frac{\theta|{2}}}^{-1} \right) \]
公立 名古屋市立大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人で交互にボールを的に向かって投げるゲームを行う．先にボールを的に当てた方を勝ちとしゲームを終了する．$\mathrm{A}$がボールを$1$回投げて的に当たる確率は$p$，$\mathrm{B}$がボールを$1$回投げて的に当たる確率は$q$である．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$である．$\mathrm{A}$を先攻とし，$\mathrm{A}$の最初の投球を$1$回目，次の$\mathrm{B}$の投球を$2$回目，$\cdots$と数える．次の問いに答えよ．
(1)$n$回目の投球で$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がゲームに勝つ確率が，$\mathrm{A}$が勝つ確率より高くなるときの$p,\ q$の条件を求めよ．また，その条件を満たす$(p,\ q)$の領域を横軸$p$，縦軸$q$の座標平面に図示せよ．
(1)$n$回目の投球で$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がゲームに勝つ確率が，$\mathrm{A}$が勝つ確率より高くなるときの$p,\ q$の条件を求めよ．また，その条件を満たす$(p,\ q)$の領域を横軸$p$，縦軸$q$の座標平面に図示せよ．
公立 北九州市立大学 2016年 第3問曲線$C:y=x^3-6x^2+9x$について，以下の問いに答えよ．
(1)曲線$C$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
(2)定数$a$に対し，直線$\ell:y=ax$が曲線$C$と$x=2$で交点をもつとき，$a$の値と全ての交点の座標を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)直線$\ell$が曲線$C$と$x \geqq 0$の範囲で異なる$3$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)曲線$C$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
(2)定数$a$に対し，直線$\ell:y=ax$が曲線$C$と$x=2$で交点をもつとき，$a$の値と全ての交点の座標を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)直線$\ell$が曲線$C$と$x \geqq 0$の範囲で異なる$3$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．
公立 北九州市立大学 2016年 第3問座標平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{A}(k,\ 1)$，$\mathrm{B}(k,\ -1)$とする．ただし，$k>1$，$0^\circ<\theta<{90}^\circ$であるとする．以下の問題に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$\theta$と$k$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{PB}$と$x$軸の交点を$\mathrm{C}$とするとき，$\triangle \mathrm{OPC}$の面積を$\theta$と$k$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{PB} \perp \mathrm{OA}$が成り立つための条件を$\theta$と$k$を用いて表せ．
(4)$\theta={30}^\circ$のとき，$\mathrm{PB} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとする．このとき，$k$の値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$\theta$と$k$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{PB}$と$x$軸の交点を$\mathrm{C}$とするとき，$\triangle \mathrm{OPC}$の面積を$\theta$と$k$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{PB} \perp \mathrm{OA}$が成り立つための条件を$\theta$と$k$を用いて表せ．
(4)$\theta={30}^\circ$のとき，$\mathrm{PB} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとする．このとき，$k$の値を求めよ．