「条件」について
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公立 首都大学東京 2010年 第3問同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{c}$とおく．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面上に点$\mathrm{D}$をとる．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} = x \overrightarrow{a} +y \overrightarrow{b} +z \overrightarrow{c}$と表すとき，実数$x,\ y,\ z$が満たすべき条件を求めなさい．
(2)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は四角形$\mathrm{ABCD}$をなし，次の条件
$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a},$
$\displaystyle |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|= |\overrightarrow{c}|= 1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OD}}| = \sqrt{\frac{17}{2}}$
を満たすとする．その辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形をなすとする．ただし，四角形$\mathrm{PQRS}$は四角形$\mathrm{ABCD}$に含まれるものとする．このとき，$x,\ y,\ z$の値を求めなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} = x \overrightarrow{a} +y \overrightarrow{b} +z \overrightarrow{c}$と表すとき，実数$x,\ y,\ z$が満たすべき条件を求めなさい．
(2)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は四角形$\mathrm{ABCD}$をなし，次の条件
$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a},$
$\displaystyle |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|= |\overrightarrow{c}|= 1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OD}}| = \sqrt{\frac{17}{2}}$
を満たすとする．その辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形をなすとする．ただし，四角形$\mathrm{PQRS}$は四角形$\mathrm{ABCD}$に含まれるものとする．このとき，$x,\ y,\ z$の値を求めなさい．
公立 高知工科大学 2010年 第3問関数列
\[ f_n(x)=x^{n-1},\quad g_n(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}f_k(x) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle F_n(x) = \int_0^x f_n(t) \, dt$を求めよ．
(2)$\{g_n(x)\}$が数列として収束するための実数$x$の条件を求めよ．また，$x$がこの条件を満たすとき$\displaystyle g(x)=\lim_{n \to \infty}g_n(x)$とおく．
\[ \int_0^x g(t) \, dt \]
を求めよ．
(3)(1)の$F_n(x)$について
\[ -F_{n+1}(1) \leqq \int_0^1 \frac{(-1)^n f_{n+1}(t)}{1+t} \, dt \leqq F_{n+1}(1) \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)無限級数
\[ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots \]
の収束，発散について調べ，収束すればその和を求めよ．
\[ f_n(x)=x^{n-1},\quad g_n(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}f_k(x) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle F_n(x) = \int_0^x f_n(t) \, dt$を求めよ．
(2)$\{g_n(x)\}$が数列として収束するための実数$x$の条件を求めよ．また，$x$がこの条件を満たすとき$\displaystyle g(x)=\lim_{n \to \infty}g_n(x)$とおく．
\[ \int_0^x g(t) \, dt \]
を求めよ．
(3)(1)の$F_n(x)$について
\[ -F_{n+1}(1) \leqq \int_0^1 \frac{(-1)^n f_{n+1}(t)}{1+t} \, dt \leqq F_{n+1}(1) \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)無限級数
\[ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots \]
の収束，発散について調べ，収束すればその和を求めよ．
公立 大阪府立大学 2010年 第2問平面上に4点O，A，B，Cがあり，点Oを始点とするそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とし，
\[ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}, |\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{10}, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=8, \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=20 \]
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$を求めよ．
(3)実数$s,\ t$に対して，点Pを
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \]
で定める．$s,\ t$が条件
\[ (s+t-1)(s+3t-3) \leqq 0 \]
を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|$の最小値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}, |\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{10}, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=8, \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=20 \]
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$を求めよ．
(3)実数$s,\ t$に対して，点Pを
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \]
で定める．$s,\ t$が条件
\[ (s+t-1)(s+3t-3) \leqq 0 \]
を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|$の最小値を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2010年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)三角関数の加法定理を用いて，次の等式を証明せよ．
\[ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
(2)次の不等式を証明せよ．$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$ \\
必要ならば，実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta| \leqq |\theta|$を用いてよい．
(3)数列$\{a_n\}$を，次の条件によって定める．
\[ a_1=\frac{\pi}{2},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\sin a_n+\frac{\pi}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+2|-a_{n+1}} \leqq \frac{1}{2} |a_{n+1|-a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(4)(3)の数列$\{a_n\}$に対して，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+1|-a_n} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^n$ \ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1)三角関数の加法定理を用いて，次の等式を証明せよ．
\[ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
(2)次の不等式を証明せよ．$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$ \\
必要ならば，実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta| \leqq |\theta|$を用いてよい．
(3)数列$\{a_n\}$を，次の条件によって定める．
\[ a_1=\frac{\pi}{2},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\sin a_n+\frac{\pi}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+2|-a_{n+1}} \leqq \frac{1}{2} |a_{n+1|-a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(4)(3)の数列$\{a_n\}$に対して，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+1|-a_n} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^n$ \ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
公立 岐阜薬科大学 2010年 第1問次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\},\ \{r_n\}$がある．
$p_1=2,\ p_{n+1}=2p_n,$
$q_1=3,\ q_{n+1}=q_n+p_n,$
$r_1=4,\ r_{n+1}=2r_n-q_n+p_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
また，点$\mathrm{C}_n(p_n,\ q_n)$を中心とし，半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{q_n\},\ \{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ．
(3)円$O_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos \angle \mathrm{A}_n \mathrm{C}_n \mathrm{B}_n$の値を求めよ．
$p_1=2,\ p_{n+1}=2p_n,$
$q_1=3,\ q_{n+1}=q_n+p_n,$
$r_1=4,\ r_{n+1}=2r_n-q_n+p_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
また，点$\mathrm{C}_n(p_n,\ q_n)$を中心とし，半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{q_n\},\ \{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ．
(3)円$O_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos \angle \mathrm{A}_n \mathrm{C}_n \mathrm{B}_n$の値を求めよ．
公立 横浜市立大学 2010年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$4$次方程式
\[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \]
を考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$は定数で，$a \neq 0$とする．$x=t+\alpha$（$\alpha$は定数）とおいて，$t$に関する$4$次方程式
\[ t^4+Ct^2+Dt+E=0 \]
の形にする．このとき$D=0$となる条件式を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$R$を正の実数とする．極限値
\[ \lim_{R \to \infty} \int_1^{R^2} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2} \, dx \]
を求めよ．
(3)地震のエネルギー$(E)$とマグニチュード$(M)$の間には
\[ \log_{10}E=4.8+1.5M \]
の関係がある（単位系は省略）．$2009$年$8$月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは$6.5$であり，気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる．東海地震のマグニチュードは$8$程度と想定されており，それを$8.0$と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい．駿河湾地震のエネルギーを$E_S$，東海地震のそれを$E_T$とおき
\[ \frac{E_T}{E_S} \]
を求めよ．簡単のために近似値$10^3 \fallingdotseq 2^{10}$，$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$を用いて計算し，小数点以下は切り捨てること．
(1)$4$次方程式
\[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \]
を考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$は定数で，$a \neq 0$とする．$x=t+\alpha$（$\alpha$は定数）とおいて，$t$に関する$4$次方程式
\[ t^4+Ct^2+Dt+E=0 \]
の形にする．このとき$D=0$となる条件式を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$R$を正の実数とする．極限値
\[ \lim_{R \to \infty} \int_1^{R^2} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2} \, dx \]
を求めよ．
(3)地震のエネルギー$(E)$とマグニチュード$(M)$の間には
\[ \log_{10}E=4.8+1.5M \]
の関係がある（単位系は省略）．$2009$年$8$月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは$6.5$であり，気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる．東海地震のマグニチュードは$8$程度と想定されており，それを$8.0$と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい．駿河湾地震のエネルギーを$E_S$，東海地震のそれを$E_T$とおき
\[ \frac{E_T}{E_S} \]
を求めよ．簡単のために近似値$10^3 \fallingdotseq 2^{10}$，$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$を用いて計算し，小数点以下は切り捨てること．