整式$P(x)$が条件「$x$が整数ならば，$P(x)$の値は整数となる」を満たすとき，$P(x)$を整数値整式という．また，$a,\ b,\ c,\ d$を定数とし，$f_1(x)=x$，$\displaystyle f_2(x)=\frac{1}{2}x(x-1)$，$\displaystyle f_3(x)=\frac{1}{6}x(x-1)(x-2)$とする．

(1)$P(x)=ax^2+bx+c$が整数値整式であるための必要十分条件は，次の条件$(\mathrm{A})$であることを示せ．

\mon[$(\mathrm{A})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)$という形に表せる．

(2)$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が整数値整式であるための必要十分条件は，次の条件$(\mathrm{B})$であることを示せ．

\mon[$(\mathrm{B})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2,\ m_3$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x)$という形に表せる．

$0<k<1$，$0<l<1$とする．鋭角三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$k:(1-k)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$l:(1-l)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とおく．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{BP} \perp \mathrm{OA}$かつ$\mathrm{AQ} \perp \mathrm{OB}$をみたすとき，$k,\ l$の値を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$のそれぞれの長さ$|\overrightarrow{a|}$，$|\overrightarrow{b|}$および内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)$k,\ l$が$(3)$の条件をみたすとき，点$\mathrm{R}$は$\mathrm{OR} \perp \mathrm{AB}$をみたすかどうかを内積を計算することによって述べよ．

$k>0$，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$に対し，第一象限の点$\mathrm{P}$を，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$を満たすように円$D:x^2+y^2=1$上にとり，直線$\mathrm{OP}$と直線$x=k \theta$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で動かすときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を曲線$y=f(x)$とし，関数$\displaystyle y=g(x)=\frac{f(x)}{x}$で定める曲線を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ．
(3)関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(4)曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$k$を用いて表せ．

三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$の比に内分する点を$\mathrm{X}$，辺$\mathrm{OB}$を$y:(1-y)$の比に内分する点を$\mathrm{Y}$とする．ただし$0<x<1$，$0<y<1$とする．線分$\mathrm{YA}$と線分$\mathrm{XB}$の交点を$\mathrm{Z}$とする．

(1)点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{XB}$を$s:(1-s)$の比に内分しているとする．$s$を$x$と$y$を用いて表せ．
(2)辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{CD}$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ．

以下の問いに答えよ．

(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．

（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$

(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．

袋$\mathrm{A}$には白玉$3$個，黒玉$4$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$3$個，黒玉$2$個が入っている．このとき，次の操作$(*)$を行う．

\mon[$(*)$] はじめに袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，そのあとよくかき混ぜてから，袋$\mathrm{B}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．

次の問いに答えよ．

(1)操作$(*)$のあとで，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出すとき，それが白玉である確率を求めよ．
(2)操作$(*)$のあとで，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出したら白玉であったという条件のもとで，袋$\mathrm{B}$の中の白玉が$2$個である確率を求めよ．
(3)操作$(*)$のあとで，$1$枚の硬貨を投げて，表が出たら袋$\mathrm{A}$にだけ白玉を$1$個入れ，裏が出たら袋$\mathrm{B}$にだけ白玉$1$個を入れる．このとき，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出したら白玉であったという条件のもとで，白玉が入れられたのは袋$\mathrm{A}$である確率を求めよ．

$6$つの整数$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$はすべて$0$以上で，次の$3$条件（ア），（イ），（ウ）をみたすとする．

（ア）\ $a>b>c>d$
（イ）\ $a=be+c$
（ウ）\ $b=cf+d$

次の問いに答えよ．

(1)$a=8$のとき，$5$つの整数$b,\ c,\ d,\ e,\ f$の組をすべて求めよ．

(2)$\displaystyle c<\frac{a}{2}$が成り立つことを示せ．

(3)$\displaystyle d<\frac{a}{3}$が成り立つことを示せ．

$r$を$1<r<3$を満たす実数，$k$を$|r-2|<k<1$を満たす実数とする．また，次の関数$f(x)$を考える．
\[ f(x)=rx(1-x) \]
以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)=x$を満たす$x$を求めよ．



以下の問題では，$(1)$で求めた$x$のうちで正のものを$x_r$とする．


\mon[$(2)$] 次の条件

$|x-x_r|<a$を満たすすべての$x$について$|f^\prime(x)|<k$

が成り立つような正の実数$a$が存在することを証明せよ．
\mon[$(3)$] $(2)$の$a$に対して，数列$\{x_n\}$を
\[ |x_1-x_r|<a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．

(i) すべての自然数$n$について$|x_n-x_r|<a$であることを証明せよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=x_r$を証明せよ．

放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$がある．ただし，$a>b$とする．直線$\mathrm{AB}$と放物線とで囲まれる部分の面積を$S$とする．下の問いに答えなさい．

(1)$a=b+1$とするとき，$S$を求めなさい．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle S=\frac{1}{6}$という条件を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡を求めなさい．

$a$を定数とし，関数$f(x)=(x-a)e^{\frac{x^2}{2}}$で表される曲線$y=f(x)$を$C$とする．ただし，$e$は自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が極値を持たないために$a$が満たすべき条件を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$で求めた接線が原点を通るような$t$の値を考える．すべての実数の中で，そのような$t$の値が$3$つあるために$a$が満たすべき条件を求めよ．