「最小」について
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(7ページ目:全521問中61問~70問を表示)![北里大学](./img/univ/kitazato.png)
次の文中の$[ア]$~$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい.
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である.また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である.
(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は,$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である.
(3)$i$を虚数単位とし,$z=-1+\sqrt{3}i$とすると,
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である.また,$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると,
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる.
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である.
(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える.
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき,これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する.
また,$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき,$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは,$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している.
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である.また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である.
(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は,$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である.
(3)$i$を虚数単位とし,$z=-1+\sqrt{3}i$とすると,
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である.また,$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると,
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる.
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である.
(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える.
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき,これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する.
また,$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき,$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは,$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
次の空欄$[ア]$~$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは,
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である.
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である.
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき,$\tan \theta$の値は$[カ]$である.
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である.
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち,最小のものは$[ク]$である.
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき,出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある.
(7)食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$がある.食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む.食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む.栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上,栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$を混合するとき,費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい.
(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき,$S$の値は$[シ]$である.
(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは,
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である.
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である.
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき,$\tan \theta$の値は$[カ]$である.
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である.
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち,最小のものは$[ク]$である.
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき,出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある.
(7)食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$がある.食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む.食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む.栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上,栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$を混合するとき,費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい.
(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき,$S$の値は$[シ]$である.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 4)$,$\mathrm{B}(4,\ 2)$および$2$つの直線$\ell:x+y=1$,$m:x-y=3$が与えられている.
(1)点$\mathrm{P}$が直線$\ell$上を動くとき,$\mathrm{AP}+\mathrm{PB}$が最小となる$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( \frac{[$50$][$51$][$52$]}{[$53$]},\ \frac{[$54$][$55$][$56$]}{[$57$]} \right) \]
である.
(2)点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$がそれぞれ直線$\ell,\ m$上を動くとき,$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QB}$が最小となる$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標はそれぞれ
\[ \left( \frac{[$58$][$59$]}{[$60$]},\ \frac{[$61$][$62$]}{[$63$]} \right),\quad \left( \frac{[$64$][$65$]}{[$66$]},\ \frac{[$67$][$68$]}{[$69$]} \right) \]
である.
(1)点$\mathrm{P}$が直線$\ell$上を動くとき,$\mathrm{AP}+\mathrm{PB}$が最小となる$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( \frac{[$50$][$51$][$52$]}{[$53$]},\ \frac{[$54$][$55$][$56$]}{[$57$]} \right) \]
である.
(2)点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$がそれぞれ直線$\ell,\ m$上を動くとき,$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QB}$が最小となる$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標はそれぞれ
\[ \left( \frac{[$58$][$59$]}{[$60$]},\ \frac{[$61$][$62$]}{[$63$]} \right),\quad \left( \frac{[$64$][$65$]}{[$66$]},\ \frac{[$67$][$68$]}{[$69$]} \right) \]
である.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
$3$つの直線$x+2y-4=0$,$2x-y-2=0$,$x-y+5=0$によって作られる三角形を考える.
(1)三角形の各頂点からの距離の$2$乗和が最小になる点は$\displaystyle \left( \frac{[$19$][$20$]}{[$21$][$22$]},\ \frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]} \right)$である.
(2)三角形の各辺からの距離の$2$乗和が最小になる点は$\displaystyle \left( \frac{[$27$][$28$]}{[$29$][$30$]},\ \frac{[$31$][$32$]}{[$33$][$34$]} \right)$である.
(1)三角形の各頂点からの距離の$2$乗和が最小になる点は$\displaystyle \left( \frac{[$19$][$20$]}{[$21$][$22$]},\ \frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]} \right)$である.
(2)三角形の各辺からの距離の$2$乗和が最小になる点は$\displaystyle \left( \frac{[$27$][$28$]}{[$29$][$30$]},\ \frac{[$31$][$32$]}{[$33$][$34$]} \right)$である.
![自治医科大学](./img/univ/jichi.png)
実数$m,\ n$は,$m+n=17$を満たす.$2^m+4^n$を最小にする$m,\ n$の値をそれぞれ$a,\ b$とするとき,$|\displaystyle\frac{96a|{35b}}$の値を求めよ.
![明治大学](./img/univ/meiji.png)
$(1)$~$(5)$において,$\nagamaruA$,$\nagamaruB$,$\nagamaruC$の値の大小関係を調べ,最大のものと最小のものを答えよ.
(1)$\{1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 7\}$の,
$\nagamaruA$ 平均値 \qquad $\nagamaruB$ 中央値(メジアン) \quad $\nagamaruC$ 最頻値(モード)
(2)$\theta$が第$2$象限の角で,$\displaystyle \sin \theta=\frac{2}{3}$のとき,
$\displaystyle \nagamaruA \sin \left( \theta-\frac{\pi}{2} \right)$ \qquad $\nagamaruB \cos \theta$ \qquad $\nagamaruC \tan \theta$
(3)$\nagamaruA$ 半径$4$,面積$4 \pi$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruB$ 半径$5$,中心角$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruC$ 半径$6$,中心角${72}^\circ$の扇形の弧の長さ
(4)$2x^3+x^2-8x-3$を$x+2$で割ったときの商を$f(x)$としたとき,
$\nagamaruA f(0)$ \qquad $\nagamaruB f(1)$ \qquad $\nagamaruC f(2)$
(5)$f(x)=x^3-x^2-5x+5$のとき,
$\displaystyle \nagamaruA f \left( -\frac{2236}{1001} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruB f \left( \frac{98}{299} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruC f\left( \frac{502}{301} \right)$
(1)$\{1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 7\}$の,
$\nagamaruA$ 平均値 \qquad $\nagamaruB$ 中央値(メジアン) \quad $\nagamaruC$ 最頻値(モード)
(2)$\theta$が第$2$象限の角で,$\displaystyle \sin \theta=\frac{2}{3}$のとき,
$\displaystyle \nagamaruA \sin \left( \theta-\frac{\pi}{2} \right)$ \qquad $\nagamaruB \cos \theta$ \qquad $\nagamaruC \tan \theta$
(3)$\nagamaruA$ 半径$4$,面積$4 \pi$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruB$ 半径$5$,中心角$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruC$ 半径$6$,中心角${72}^\circ$の扇形の弧の長さ
(4)$2x^3+x^2-8x-3$を$x+2$で割ったときの商を$f(x)$としたとき,
$\nagamaruA f(0)$ \qquad $\nagamaruB f(1)$ \qquad $\nagamaruC f(2)$
(5)$f(x)=x^3-x^2-5x+5$のとき,
$\displaystyle \nagamaruA f \left( -\frac{2236}{1001} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruB f \left( \frac{98}{299} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruC f\left( \frac{502}{301} \right)$
![大阪薬科大学](./img/univ/osakayakka.png)
次の問いに答えなさい.
点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と点$\mathrm{B}(5,\ 2)$,および直線$\ell$がある.
(1)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{1}{2}(-x+1)$である.
(i) 点$\mathrm{P}$が$\ell$上の点であるとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ.
(ii) $\ell$上の$\mathrm{P}$に対し,$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ.
(2)$a$を$1$以上の定数とする.$xy$座標平面上の点$\mathrm{Q}$が,線分$\mathrm{AQ}$の中点$\mathrm{M}$を用いて,
\[ a|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=4|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2+4|\overrightarrow{\mathrm{BM}}|^2 \]
を満たしながら動くとき,その$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする.
(i) $C$が直線となるときの$a$の値を求めよ.
(ii) $a=1$のとき,$C$上の$\mathrm{Q}$に対し,$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ.
点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と点$\mathrm{B}(5,\ 2)$,および直線$\ell$がある.
(1)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{1}{2}(-x+1)$である.
(i) 点$\mathrm{P}$が$\ell$上の点であるとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ.
(ii) $\ell$上の$\mathrm{P}$に対し,$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ.
(2)$a$を$1$以上の定数とする.$xy$座標平面上の点$\mathrm{Q}$が,線分$\mathrm{AQ}$の中点$\mathrm{M}$を用いて,
\[ a|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=4|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2+4|\overrightarrow{\mathrm{BM}}|^2 \]
を満たしながら動くとき,その$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする.
(i) $C$が直線となるときの$a$の値を求めよ.
(ii) $a=1$のとき,$C$上の$\mathrm{Q}$に対し,$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ.
![北里大学](./img/univ/kitazato.png)
双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2=1$に対し,双曲線上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$における接線を$\ell$とする.ただし,$a>0$とする.
(1)$\ell$の方程式が$\displaystyle \frac{ax}{2}-by=1$で与えられることを示せ.
(2)$\ell$に垂直な双曲線の接線$m$が引けるための$a$の条件を求めよ.
(3)$a$が$(2)$の条件を満たすとする.双曲線上の点$\mathrm{Q}(c,\ d)$における接線が$\ell$に垂直に交わるように点$\mathrm{Q}$を定める.ただし,$d>0$とする.$\mathrm{O}$を原点とするとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を最小にする$a$の値を求めよ.
(1)$\ell$の方程式が$\displaystyle \frac{ax}{2}-by=1$で与えられることを示せ.
(2)$\ell$に垂直な双曲線の接線$m$が引けるための$a$の条件を求めよ.
(3)$a$が$(2)$の条件を満たすとする.双曲線上の点$\mathrm{Q}(c,\ d)$における接線が$\ell$に垂直に交わるように点$\mathrm{Q}$を定める.ただし,$d>0$とする.$\mathrm{O}$を原点とするとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を最小にする$a$の値を求めよ.
![明治大学](./img/univ/meiji.png)
放物線$C:y=-x^2+ax$($a$は正の定数)と直線$\ell:y=mx+n$が$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$で交わっている.$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると,$0<\alpha<\beta<2a$を満たしている.$x=0$,$C$,$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_1$,$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_2$,$x=2a$,$C$,$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_3$とする.このとき,
\[ T_2=T_1+T_3 \]
が満たされるとする.以下の各設問に答えよ.
(1)$T_2=T_1+T_3$から,$a,\ m,\ n$の間に関係式
\[ [ ]=0 \]
が成り立つ(もっとも簡潔な式で書くこと).
(2)$T_2=T_1+T_3$を満たす直線$\ell$は$m,\ n$によらず定点$[ ]$を通る.この定点を$a$を用いて表せ.
(3)$T_2$の値が最小となるのは直線$\ell$が$y=[ ]$のときであり,そのとき$T_2$の値は$[ ]$である.
(4)$(3)$のとき$\alpha,\ \beta$の値は
\[ \alpha=[ ]a,\quad \beta=[ ]a \]
である.
\[ T_2=T_1+T_3 \]
が満たされるとする.以下の各設問に答えよ.
(1)$T_2=T_1+T_3$から,$a,\ m,\ n$の間に関係式
\[ [ ]=0 \]
が成り立つ(もっとも簡潔な式で書くこと).
(2)$T_2=T_1+T_3$を満たす直線$\ell$は$m,\ n$によらず定点$[ ]$を通る.この定点を$a$を用いて表せ.
(3)$T_2$の値が最小となるのは直線$\ell$が$y=[ ]$のときであり,そのとき$T_2$の値は$[ ]$である.
(4)$(3)$のとき$\alpha,\ \beta$の値は
\[ \alpha=[ ]a,\quad \beta=[ ]a \]
である.
![中京大学](./img/univ/chukyo.png)
${2016}^n$が$2016$桁以上となる最小の$n$は$[ア][イ][ウ]$であり,そのとき${2016}^n$の下$2$桁の数は$[エ][オ]$である.ただし,$n$は整数であり,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}7=0.8451$とする.