次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．

(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．

(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は，$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である．
(3)$i$を虚数単位とし，$z=-1+\sqrt{3}i$とすると，
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である．また，$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると，
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる．
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である．

(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える．
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき，これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する．
また，$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは，$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している．

次の空欄$[ア]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは，
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である．
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき，$\tan \theta$の値は$[カ]$である．
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である．
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち，最小のものは$[ク]$である．
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある．
(7)食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$がある．食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む．食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む．栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上，栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を混合するとき，費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい．

(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき，$S$の値は$[シ]$である．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 4)$，$\mathrm{B}(4,\ 2)$および$2$つの直線$\ell:x+y=1$，$m:x-y=3$が与えられている．

(1)点$\mathrm{P}$が直線$\ell$上を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{PB}$が最小となる$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( \frac{[$50$][$51$][$52$]}{[$53$]},\ \frac{[$54$][$55$][$56$]}{[$57$]} \right) \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がそれぞれ直線$\ell,\ m$上を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QB}$が最小となる$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標はそれぞれ
\[ \left( \frac{[$58$][$59$]}{[$60$]},\ \frac{[$61$][$62$]}{[$63$]} \right),\quad \left( \frac{[$64$][$65$]}{[$66$]},\ \frac{[$67$][$68$]}{[$69$]} \right) \]
である．

$3$つの直線$x+2y-4=0$，$2x-y-2=0$，$x-y+5=0$によって作られる三角形を考える．

(1)三角形の各頂点からの距離の$2$乗和が最小になる点は$\displaystyle \left( \frac{[$19$][$20$]}{[$21$][$22$]},\ \frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]} \right)$である．
(2)三角形の各辺からの距離の$2$乗和が最小になる点は$\displaystyle \left( \frac{[$27$][$28$]}{[$29$][$30$]},\ \frac{[$31$][$32$]}{[$33$][$34$]} \right)$である．

実数$m,\ n$は，$m+n=17$を満たす．$2^m+4^n$を最小にする$m,\ n$の値をそれぞれ$a,\ b$とするとき，$|\displaystyle\frac{96a|{35b}}$の値を求めよ．

$(1)$～$(5)$において，$\nagamaruA$，$\nagamaruB$，$\nagamaruC$の値の大小関係を調べ，最大のものと最小のものを答えよ．

(1)$\{1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 7\}$の，
$\nagamaruA$ 平均値 \qquad $\nagamaruB$ 中央値（メジアン） \quad $\nagamaruC$ 最頻値（モード）
(2)$\theta$が第$2$象限の角で，$\displaystyle \sin \theta=\frac{2}{3}$のとき，
$\displaystyle \nagamaruA \sin \left( \theta-\frac{\pi}{2} \right)$ \qquad $\nagamaruB \cos \theta$ \qquad $\nagamaruC \tan \theta$
(3)$\nagamaruA$ 半径$4$，面積$4 \pi$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruB$ 半径$5$，中心角$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruC$ 半径$6$，中心角${72}^\circ$の扇形の弧の長さ
(4)$2x^3+x^2-8x-3$を$x+2$で割ったときの商を$f(x)$としたとき，
$\nagamaruA f(0)$ \qquad $\nagamaruB f(1)$ \qquad $\nagamaruC f(2)$
(5)$f(x)=x^3-x^2-5x+5$のとき，
$\displaystyle \nagamaruA f \left( -\frac{2236}{1001} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruB f \left( \frac{98}{299} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruC f\left( \frac{502}{301} \right)$

次の問いに答えなさい．

点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と点$\mathrm{B}(5,\ 2)$，および直線$\ell$がある．

(1)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{1}{2}(-x+1)$である．

(i) 点$\mathrm{P}$が$\ell$上の点であるとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ．
(ii) $\ell$上の$\mathrm{P}$に対し，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ．

(2)$a$を$1$以上の定数とする．$xy$座標平面上の点$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{AQ}$の中点$\mathrm{M}$を用いて，
\[ a|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=4|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2+4|\overrightarrow{\mathrm{BM}}|^2 \]
を満たしながら動くとき，その$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする．

(i) $C$が直線となるときの$a$の値を求めよ．
(ii) $a=1$のとき，$C$上の$\mathrm{Q}$に対し，$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ．

双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2=1$に対し，双曲線上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$における接線を$\ell$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)$\ell$の方程式が$\displaystyle \frac{ax}{2}-by=1$で与えられることを示せ．
(2)$\ell$に垂直な双曲線の接線$m$が引けるための$a$の条件を求めよ．
(3)$a$が$(2)$の条件を満たすとする．双曲線上の点$\mathrm{Q}(c,\ d)$における接線が$\ell$に垂直に交わるように点$\mathrm{Q}$を定める．ただし，$d>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とするとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を最小にする$a$の値を求めよ．

放物線$C:y=-x^2+ax$（$a$は正の定数）と直線$\ell:y=mx+n$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると，$0<\alpha<\beta<2a$を満たしている．$x=0$，$C$，$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_1$，$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_2$，$x=2a$，$C$，$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_3$とする．このとき，
\[ T_2=T_1+T_3 \]
が満たされるとする．以下の各設問に答えよ．

(1)$T_2=T_1+T_3$から，$a,\ m,\ n$の間に関係式
\[ [　]=0 \]
が成り立つ（もっとも簡潔な式で書くこと）．
(2)$T_2=T_1+T_3$を満たす直線$\ell$は$m,\ n$によらず定点$[　]$を通る．この定点を$a$を用いて表せ．
(3)$T_2$の値が最小となるのは直線$\ell$が$y=[　]$のときであり，そのとき$T_2$の値は$[　]$である．
(4)$(3)$のとき$\alpha,\ \beta$の値は
\[ \alpha=[　]a,\quad \beta=[　]a \]
である．

${2016}^n$が$2016$桁以上となる最小の$n$は$[ア][イ][ウ]$であり，そのとき${2016}^n$の下$2$桁の数は$[エ][オ]$である．ただし，$n$は整数であり，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$とする．