「最小」について
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国立 三重大学 2016年 第1問$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1)$，$\overrightarrow{c}=(1,\ -1,\ 0)$とする．また，実数$s,\ t,\ u$に対して$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第1問$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1)$，$\overrightarrow{c}=(1,\ -1,\ 0)$とする．また，実数$s,\ t,\ u$に対して$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
国立 埼玉大学 2016年 第4問$2$次関数$f(x)$に対して，関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める．方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする．これらの解のうち，最大の解と最小の解の絶対値は一致する．このとき，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい．
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める．方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする．これらの解のうち，最大の解と最小の解の絶対値は一致する．このとき，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい．
国立 九州工業大学 2016年 第2問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．円$C_1$に外接しながら，半径$1$の円$C_2$がすべることなく回転する．円$C_2$の中心を$\mathrm{P}$とし，円$C_2$上の点$\mathrm{Q}$は最初，$x$軸上の点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあるものとする．半直線$\mathrm{PQ}$上で点$\mathrm{P}$からの距離が$2$の点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$とする．$C_2$が回転して$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき，点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．曲線$C$の概形を図$1$に示す．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする．直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を，$\theta$を用いて表せ．また，$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ．
(6)曲線$C$と$x$軸，$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする．直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を，$\theta$を用いて表せ．また，$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ．
(6)曲線$C$と$x$軸，$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ．
国立 鳥取大学 2016年 第1問数列$\{a_n\}$を以下のように定める．
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n>100(n+1)$となる最小の$n$を求めよ．
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n>100(n+1)$となる最小の$n$を求めよ．
国立 埼玉大学 2016年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．
(2)$a>0$とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$，$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする．
\mon[（ア）] $C$と$\ell_1$の交点，および，$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
\mon[（イ）] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい．
\mon[（ウ）] $D$の面積を$a$を用いて表せ．
\mon[（エ）] $D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．
(2)$a>0$とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$，$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする．
\mon[（ア）] $C$と$\ell_1$の交点，および，$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
\mon[（イ）] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい．
\mon[（ウ）] $D$の面積を$a$を用いて表せ．
\mon[（エ）] $D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第4問$a$は$0<a<2$を満たす定数とする．$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数$t$に対して，座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ t^2)$，$\mathrm{C}(2-t,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 2-at)$を考える．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S(t)$が最小となるような$t$の値を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第5問$a$は$0<a<2$を満たす定数とする．$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数$t$に対して，座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ t^2)$，$\mathrm{C}(2-t,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 2-at)$を考える．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S(t)$が最小となるような$t$の値を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2016年 第2問$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2016年 第2問$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．