「最小」について
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(2ページ目:全521問中11問~20問を表示)![三重大学](./img/univ/mie.png)
$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$,$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1)$,$\overrightarrow{c}=(1,\ -1,\ 0)$とする.また,実数$s,\ t,\ u$に対して$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とする.
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ.
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ.
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ.
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ.
![三重大学](./img/univ/mie.png)
$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$,$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1)$,$\overrightarrow{c}=(1,\ -1,\ 0)$とする.また,実数$s,\ t,\ u$に対して$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とする.
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ.
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ.
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ.
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ.
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
$2$次関数$f(x)$に対して,関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める.方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする.これらの解のうち,最大の解と最小の解の絶対値は一致する.このとき,$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい.
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める.方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする.これらの解のうち,最大の解と最小の解の絶対値は一致する.このとき,$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい.
![九州工業大学](./img/univ/kyushukougyou.png)
原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする.円$C_1$に外接しながら,半径$1$の円$C_2$がすべることなく回転する.円$C_2$の中心を$\mathrm{P}$とし,円$C_2$上の点$\mathrm{Q}$は最初,$x$軸上の点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあるものとする.半直線$\mathrm{PQ}$上で点$\mathrm{P}$からの距離が$2$の点を$\mathrm{R}$とし,$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$とする.$C_2$が回転して$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき,点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする.曲線$C$の概形を図$1$に示す.以下の問いに答えよ.
(図は省略)
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする.直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を,$\theta$を用いて表せ.また,$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ.
(6)曲線$C$と$x$軸,$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ.
(図は省略)
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする.直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を,$\theta$を用いて表せ.また,$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ.
(6)曲線$C$と$x$軸,$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ.
![鳥取大学](./img/univ/tottori.png)
数列$\{a_n\}$を以下のように定める.
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また,数列$\{b_n\}$を以下のように定める.
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき,以下の問いに答えよ.ただし,$n$は自然数とする.
(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ.
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ.
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき,$c_n>100(n+1)$となる最小の$n$を求めよ.
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また,数列$\{b_n\}$を以下のように定める.
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき,以下の問いに答えよ.ただし,$n$は自然数とする.
(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ.
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ.
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき,$c_n>100(n+1)$となる最小の$n$を求めよ.
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
$a$は$0<a<2$を満たす定数とする.$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数$t$に対して,座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ t^2)$,$\mathrm{C}(2-t,\ 2)$,$\mathrm{D}(0,\ 2-at)$を考える.このとき,四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S(t)$が最小となるような$t$の値を求めよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
$a$は$0<a<2$を満たす定数とする.$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数$t$に対して,座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ t^2)$,$\mathrm{C}(2-t,\ 2)$,$\mathrm{D}(0,\ 2-at)$を考える.このとき,四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S(t)$が最小となるような$t$の値を求めよ.
![東京医科歯科大学](./img/univ/ikashika.png)
$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし,正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする.また,$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし,$R$の体積を$V(r)$とする.さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし,
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする.ただし,$\phi$は空集合を表す.このとき以下の各問いに答えよ.
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき,$R$の$xy$平面による断面を図示せよ.
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$,$V_(r_3)$を求めよ.
(3)$r \geqq r_1$のとき,$S_x$の体積を$r$を用いて表せ.
(4)$0<r \leqq r_2$において,$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ.
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし,正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする.また,$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし,$R$の体積を$V(r)$とする.さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし,
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする.ただし,$\phi$は空集合を表す.このとき以下の各問いに答えよ.
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき,$R$の$xy$平面による断面を図示せよ.
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$,$V_(r_3)$を求めよ.
(3)$r \geqq r_1$のとき,$S_x$の体積を$r$を用いて表せ.
(4)$0<r \leqq r_2$において,$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ.
![東京医科歯科大学](./img/univ/ikashika.png)
$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし,正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする.また,$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし,$R$の体積を$V(r)$とする.さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし,
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする.ただし,$\phi$は空集合を表す.このとき以下の各問いに答えよ.
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき,$R$の$xy$平面による断面を図示せよ.
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$,$V_(r_3)$を求めよ.
(3)$r \geqq r_1$のとき,$S_x$の体積を$r$を用いて表せ.
(4)$0<r \leqq r_2$において,$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ.
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし,正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする.また,$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし,$R$の体積を$V(r)$とする.さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし,
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする.ただし,$\phi$は空集合を表す.このとき以下の各問いに答えよ.
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき,$R$の$xy$平面による断面を図示せよ.
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$,$V_(r_3)$を求めよ.
(3)$r \geqq r_1$のとき,$S_x$の体積を$r$を用いて表せ.
(4)$0<r \leqq r_2$において,$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ.