「最小値」について
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国立 お茶の水女子大学 2016年 第1問$a$を正の実数とする．
(1)平面上の点$(x,\ y)$は$x+y=a$，$x>0$，$y>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y \]
の最小値を求めよ．
(2)空間上の点$(x,\ y,\ z)$は$x+y+z=a$，$x>0$，$y>0$，$z>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y+z \log z \]
の最小値を求めよ．
(1)平面上の点$(x,\ y)$は$x+y=a$，$x>0$，$y>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y \]
の最小値を求めよ．
(2)空間上の点$(x,\ y,\ z)$は$x+y+z=a$，$x>0$，$y>0$，$z>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y+z \log z \]
の最小値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第1問$a$を正の実数とする．
(1)平面上の点$(x,\ y)$は$x+y=a$，$x>0$，$y>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y \]
の最小値を求めよ．
(2)空間上の点$(x,\ y,\ z)$は$x+y+z=a$，$x>0$，$y>0$，$z>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y+z \log z \]
の最小値を求めよ．
(1)平面上の点$(x,\ y)$は$x+y=a$，$x>0$，$y>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y \]
の最小値を求めよ．
(2)空間上の点$(x,\ y,\ z)$は$x+y+z=a$，$x>0$，$y>0$，$z>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y+z \log z \]
の最小値を求めよ．
国立 大分大学 2016年 第1問大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}$と，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする．
(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$，$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる．$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい．
(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$，$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる．$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい．
国立 大分大学 2016年 第2問$a$を$0$でない実数とする．$2$つの放物線$y=x^2$，$\displaystyle y=-x^2+2ax+\frac{1}{2a^2}$がある．
(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい．
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい．
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい．
(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい．
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい．
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい．
国立 大分大学 2016年 第1問大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}$と，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする．
(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$，$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる．$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい．
(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$，$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる．$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい．
国立 大分大学 2016年 第2問$a$を$0$でない実数とする．$2$つの放物線$y=x^2$，$\displaystyle y=-x^2+2ax+\frac{1}{2a^2}$がある．
(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい．
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい．
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい．
(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい．
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい．
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい．
国立 秋田大学 2016年 第2問$f(x)=x^2-3x$とする．次の問いに答えよ．
(1)$-3 \leqq x \leqq 3$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)点$(3,\ -4)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線の方程式を求めよ．
(3)放物線$y=f(x)$と$(2)$の接線で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$-3 \leqq x \leqq 3$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)点$(3,\ -4)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線の方程式を求めよ．
(3)放物線$y=f(x)$と$(2)$の接線で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 奈良女子大学 2016年 第2問$a$と$d$を整数とする．数列$\{a_n\}$を初項$a$，公差$d$の等差数列とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$S_n$を$a,\ d,\ n$を用いて表せ．
(2)$n \leqq 34$のとき$S_n \leqq 0$，$n \geqq 35$のとき$S_n>0$であるとする．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
(i) $S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
(ii) $S_n$の最小値が$-289$のとき，$a$と$d$の値をそれぞれ求めよ．
(1)$S_n$を$a,\ d,\ n$を用いて表せ．
(2)$n \leqq 34$のとき$S_n \leqq 0$，$n \geqq 35$のとき$S_n>0$であるとする．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
(i) $S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
(ii) $S_n$の最小値が$-289$のとき，$a$と$d$の値をそれぞれ求めよ．