「最小値」について
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国立 千葉大学 2016年 第4問$-\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2}$の範囲で，点$\mathrm{P}$は放物線$y=-x^2+2$上を動き，点$\mathrm{Q}$は放物線$y=x^2-2$上を動く．ただし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は異なる点とする．
(1)直線$\mathrm{PQ}$が原点を通るとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．
(1)直線$\mathrm{PQ}$が原点を通るとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第3問座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$，$\mathrm{D}(1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある．点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする．直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする．さらに，直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし，その交点を$\mathrm{P}_3$とする．
(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ．
(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第2問座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$，$\mathrm{D}(1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある．点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする．直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする．さらに，直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし，その交点を$\mathrm{P}_3$とする．
(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ．
(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第2問座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$，$\mathrm{D}(1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある．点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする．直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする．さらに，直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし，その交点を$\mathrm{P}_3$とする．
(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ．
(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第3問$-\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2}$の範囲で，点$\mathrm{P}$は放物線$y=-x^2+2$上を動き，点$\mathrm{Q}$は放物線$y=x^2-2$上を動く．ただし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は異なる点とする．
(1)直線$\mathrm{PQ}$が原点を通るとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．
(1)直線$\mathrm{PQ}$が原点を通るとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2016年 第2問$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2016年 第3問関数$f(x)=\langle\!\langle x \rangle\!\rangle-2 \langle\!\langle x-1 \rangle\!\rangle+\langle\!\langle x-2 \rangle\!\rangle$を考える．
ここで，実数$u$に対して$\displaystyle \langle\!\langle u \rangle\!\rangle=\frac{u+|u|}{2}$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$f(x)$のグラフをかけ．
(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^1 f(x-t) \, dt$とおくとき，$g(x)$の最大値を求めよ．
(3)$(2)$の$g(x)$に対して，$\displaystyle p(s)=\int_0^3 (x-s)^2 g(x) \, dx$とおくとき，$p(s)$の最小値を求めよ．
ここで，実数$u$に対して$\displaystyle \langle\!\langle u \rangle\!\rangle=\frac{u+|u|}{2}$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$f(x)$のグラフをかけ．
(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^1 f(x-t) \, dt$とおくとき，$g(x)$の最大値を求めよ．
(3)$(2)$の$g(x)$に対して，$\displaystyle p(s)=\int_0^3 (x-s)^2 g(x) \, dx$とおくとき，$p(s)$の最小値を求めよ．
国立 小樽商科大学 2016年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補え．
(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は，全部で$[ ]$個である．
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[ ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$である．
(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は，全部で$[ ]$個である．
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[ ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$である．
国立 小樽商科大学 2016年 第4問曲線$\displaystyle y=-x^2+\frac{3}{2}$上の点$\mathrm{P}(x,\ y) (y \geqq 0)$から原点$\mathrm{O}$が中心で半径が$1$である円に$2$本の接線を引き，それらの接点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．四角形$\mathrm{PAOB}$の面積の最大値$M$，最小値$m$とそれらを与える点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2016年 第2問$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．