$|\overrightarrow{a|}=\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{b|}=1$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$のとき，$|\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=[ア]$であり，$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$の最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]}$である．ただし，$t$は実数とする．

次の$2$つの定積分を求めると，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3 \sin 3x \, dx=[ア],\quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} tx^2 \sin x \, dx=\left( \pi-[イ] \right)t \]
であり，定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left\{ 3 \sin 3x-tx^2 \sin x+(t-1)^2 \right\} \, dx$の最小値は
\[ -\frac{[ウ]}{[エ]} \pi-\frac{[オ]}{\pi}+[カ] \]
である．ただし，$t$は実数とする．

次の問いに答えよ．

(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，

$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．

$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+3x+\frac{1}{2}$について，定義域が$-5 \leqq x \leqq 0$のときの最大値と最小値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$は実数とする．$3$次方程式$x^3+x^2+ax+b=0$が$1+i$を解にもつとき，$a,\ b$の値を求めよ．また他の解を求めよ．
(2)関数$y=\cos^2 \theta-4 \sin \theta+7$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)初項$\displaystyle \frac{2}{3}$，公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列$\{a_n\}$を考える．初項から第$n$項までの和$S_n$が$0.998$を超える最小の自然数$n$を求めよ．

座標平面において，連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-2x \\
y-x \leqq 0
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)$D$を図示せよ．
(2)$D$の点$(x,\ y)$に対して$x+y=a$とする．$a$の最大値と最小値，およびそのときの$x,\ y$を求めよ．
(3)$D$の点$(x,\ y)$に対して$xy=b$とする．$b$の最大値と最小値，およびそのときの$x,\ y$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$x^2+xy+3x-2y^2+3y+2$を因数分解せよ．
(2)不等式$|x-1| \leqq 2x \leqq |x+1|$を解け．
(3)$x+y=1$のとき，$x^2+2y$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)原点を通る放物線$y=x^2+2ax+b$の頂点が直線$y=2x-3$上にあるとき，$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(2)$p$を負の定数とする．$(1)$で求めた$2$次関数の$p \leqq x \leqq 0$における最小値$m$とそのときの$x$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{3-i}{3+i}=\frac{[ア]-[イ]i}{[ウ]}$（ただし，$i^2=-1$）である．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2(k-4)x+2k=0$が重解をもつような定数$k$の値は小さい順に$[エ]$，$[オ]$である．
(3)$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2-6x+35$のグラフは，放物線$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2$を$x$軸方向に$[カ]$，$y$軸方向に$[キ]$だけ平行移動した放物線である．
(4)$10$個の値$1,\ 3,\ 8,\ 5,\ 8,\ [ク],\ 3,\ 7,\ 7,\ 1$からなるデータの平均値は$5$，最頻値は$[ケ]$，中央値は$[コ]$である．
(5)$x>0$において，$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right) \left( 2-\frac{9}{x} \right)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}$のとき，最小値$[スセ]$をとる．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個の数字を使ってできる$3$桁の整数は$[ソタ]$個あり，そのうち偶数のものは$[チツ]$個ある．
(7)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．$\displaystyle \cos 3\theta=\frac{1}{2}$をみたす$\theta$のうち，最大のものは$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナ]} \pi$である．
(8)$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^3-3x+2) \, dx=\frac{[ニヌ]}{[ネ]}$である．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$z=\sqrt{-2} \times \sqrt{-3}$，$\displaystyle w=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{-2}}$のとき，$z+w$の実部は$[ア]$で虚部は$[イ]$である．
(2)関数$f(x)=\cos 2x+\sin x+a$の最大値が$2$のとき，定数$a$の値は$[ウ]$で，$f(x)$の最小値は$[エ]$である．
(3)$4$つの数$\displaystyle \frac{3}{2},\ \log_2 3,\ \log_4 6,\ \log_4 7$のうち，一番小さい数は$[オ]$で，一番大きい数は$[カ]$である．
(4)関数$f(x)=x^3-(a+1)x^2-15x$が$x=a$で極小値をとるとき，定数$a$の値は$[キ]$で，$f(x)$の極大値は$[ク]$である．