「最大値」について
タグ「最大値」の検索結果
（9ページ目：全1143問中81問～90問を表示）
国立 山口大学 2016年 第2問$1$から$6$までの目が同じ割合で出る$4$個のさいころを同時に投げるとき，次の確率を求めなさい．
(1)出る目がすべて異なる確率
(2)出る目の最小値が$2$，かつ最大値が$3$である確率
(3)出る目の最大値と最小値の積が$20$以上である確率
(1)出る目がすべて異なる確率
(2)出る目の最小値が$2$，かつ最大値が$3$である確率
(3)出る目の最大値と最小値の積が$20$以上である確率
国立 福井大学 2016年 第2問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，$\mathrm{F}(5,\ 0)$を焦点の$1$つとし，直線$\ell:y=kx$と$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線にもつ双曲線$C$がある．ただし，$k>0$とする．$C$上の点$\mathrm{Q}(a,\ b)$を通り，$2$本の漸近線に平行な$2$直線のうち，傾きが正のものを$m$，傾きが負のものを$m^\prime$とする．$\ell$と$m^\prime$との交点を$\mathrm{P}$，$\ell^\prime$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とし，四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の座標を，$a,\ b,\ k$を用いて表せ．
(3)$S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ．
(4)$k$が$k>0$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ．
(1)双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の座標を，$a,\ b,\ k$を用いて表せ．
(3)$S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ．
(4)$k$が$k>0$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ．
国立 東京海洋大学 2016年 第2問連立不等式
\[ y \geqq 0,\quad x^2+y^2 \leqq 1,\quad y \geqq 6x^2-4 \]
の表す$xy$平面上の領域を$D$とするとき，次の問に答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき$y-x$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$D$の面積を求めよ．
\[ y \geqq 0,\quad x^2+y^2 \leqq 1,\quad y \geqq 6x^2-4 \]
の表す$xy$平面上の領域を$D$とするとき，次の問に答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき$y-x$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$D$の面積を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問$2$つの関数$f(x)=x^3-x^2-x+c$，$g(x)=4x+1$がある．$x$は$0 \leqq x \leqq a$を満たす．ただし，$a$は整数，$c$は実数とする．
$xy$平面上の曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(0,\ f(0))$，$(a,\ f(a))$を結ぶ直線は，$\displaystyle x=\frac{a}{3}$における$y=f(x)$の接線と直交する．このとき，
(1)$a=[$24$]$である．
(2)$c=0$のとき，関数$f(x)$の最大値は$[$25$]$である．
(3)方程式$f(x)=g(x)$が$2$つの異なる実数解を持つような$c$の値の範囲は
\[ [$26$] \leqq c<\frac{[$27$][$28$][$29$]}{[$30$][$31$]} \]
である．
$xy$平面上の曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(0,\ f(0))$，$(a,\ f(a))$を結ぶ直線は，$\displaystyle x=\frac{a}{3}$における$y=f(x)$の接線と直交する．このとき，
(1)$a=[$24$]$である．
(2)$c=0$のとき，関数$f(x)$の最大値は$[$25$]$である．
(3)方程式$f(x)=g(x)$が$2$つの異なる実数解を持つような$c$の値の範囲は
\[ [$26$] \leqq c<\frac{[$27$][$28$][$29$]}{[$30$][$31$]} \]
である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第4問$t$を正の実数とし，$x$の$2$次方程式
\[ x^2-2 \{(\log_2 t)^2+1\}x+6(\log_2 t)^2+1=0 \]
を考える．
(1)上の$2$次方程式の実数解が存在しない$t$の範囲を求めよ．
上の方程式が実数解を持つ$t$に対して，実数解がただ$1$つのときはその値を$f(t)$と定め，実数解が$2$つあるときは小さいほうの値を$f(t)$と定める．
(2)上の$2$次方程式の実数解がただ$1$つ存在する$t$の集合を$A$とする．$t \in A$のとき$f(t)$の最小値と最大値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 1 \leqq \log_4 t \leqq \frac{3}{2}$を満たす範囲を動くとき，$f(t)$の最小値を求めよ．
\[ x^2-2 \{(\log_2 t)^2+1\}x+6(\log_2 t)^2+1=0 \]
を考える．
(1)上の$2$次方程式の実数解が存在しない$t$の範囲を求めよ．
上の方程式が実数解を持つ$t$に対して，実数解がただ$1$つのときはその値を$f(t)$と定め，実数解が$2$つあるときは小さいほうの値を$f(t)$と定める．
(2)上の$2$次方程式の実数解がただ$1$つ存在する$t$の集合を$A$とする．$t \in A$のとき$f(t)$の最小値と最大値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 1 \leqq \log_4 t \leqq \frac{3}{2}$を満たす範囲を動くとき，$f(t)$の最小値を求めよ．
私立 同志社大学 2016年 第4問$n$を自然数，$k$を$0$以上の整数とする．また，$f(x)=|x \sin (nx)|$，$\displaystyle x_k=\frac{k \pi}{n}$，$\displaystyle \alpha_k=\frac{x_k+x_{k+1}}{2}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle T_k=\int_{x_k}^{\alpha_k} f(x) \, dx$とする．$T_k$を$n,\ k$を用いて表し，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n T_k$を求めよ．
(2)$x_k \leqq x \leqq x_{k+1}$の範囲で，関数$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$\beta_k$とする．$\displaystyle U_k=\int_{x_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおくと，ある定数$b$を用いて$\displaystyle U_k=\frac{k \pi+b |\sin (n \beta_k)|}{n^2}$と表される．定数$b$の値を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n U_k$を求めよ．
(3)$x_k \leqq x \leqq \alpha_k$の範囲で，関数$g(x)=|x \cos (nx)|$が最大値をとるときの$x$の値を$\gamma_k$とする．この$\gamma_k$と$(2)$の$\beta_k$に対して，$\displaystyle V_k=\int_{\gamma_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおく．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n V_k$を求めよ．
(1)$\displaystyle T_k=\int_{x_k}^{\alpha_k} f(x) \, dx$とする．$T_k$を$n,\ k$を用いて表し，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n T_k$を求めよ．
(2)$x_k \leqq x \leqq x_{k+1}$の範囲で，関数$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$\beta_k$とする．$\displaystyle U_k=\int_{x_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおくと，ある定数$b$を用いて$\displaystyle U_k=\frac{k \pi+b |\sin (n \beta_k)|}{n^2}$と表される．定数$b$の値を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n U_k$を求めよ．
(3)$x_k \leqq x \leqq \alpha_k$の範囲で，関数$g(x)=|x \cos (nx)|$が最大値をとるときの$x$の値を$\gamma_k$とする．この$\gamma_k$と$(2)$の$\beta_k$に対して，$\displaystyle V_k=\int_{\gamma_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおく．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n V_k$を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式などを記入しなさい．
(1)座標空間内の点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ -2,\ -4)$，$\mathrm{D}(3,\ 2,\ 6)$に対して，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{M}$とし，三角形$\mathrm{ABD}$の重心を$\mathrm{N}$とする．このとき，点$\mathrm{M}$の座標は$[ア]$である．また，線分$\mathrm{MN}$を$4:3$に外分する点の座標は$[イ]$である．
(2)$\alpha=-1+2i$とする．$x=\alpha$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解であるような実数の組$(a,\ b)$は$(a,\ b)=[ウ]$である．また$\alpha^5+2 \alpha^4+3 \alpha^3+4 \alpha^2+5 \alpha$の値は$[エ]$である．
(3)関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=2x^2+3x+\int_0^{\frac{1}{2}} f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[オ]$である．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，以下の確率を求めなさい．
(i) 出る目の最大値が$4$以下である確率は$[カ]$である．
(ii) 出る目の最大値が$4$である確率は$[キ]$である．
(iii) 出る目の最大値が$4$であるとき，少なくとも$1$個のさいころの目が$1$である確率は$[ク]$である．
(1)座標空間内の点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ -2,\ -4)$，$\mathrm{D}(3,\ 2,\ 6)$に対して，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{M}$とし，三角形$\mathrm{ABD}$の重心を$\mathrm{N}$とする．このとき，点$\mathrm{M}$の座標は$[ア]$である．また，線分$\mathrm{MN}$を$4:3$に外分する点の座標は$[イ]$である．
(2)$\alpha=-1+2i$とする．$x=\alpha$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解であるような実数の組$(a,\ b)$は$(a,\ b)=[ウ]$である．また$\alpha^5+2 \alpha^4+3 \alpha^3+4 \alpha^2+5 \alpha$の値は$[エ]$である．
(3)関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=2x^2+3x+\int_0^{\frac{1}{2}} f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[オ]$である．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，以下の確率を求めなさい．
(i) 出る目の最大値が$4$以下である確率は$[カ]$である．
(ii) 出る目の最大値が$4$である確率は$[キ]$である．
(iii) 出る目の最大値が$4$であるとき，少なくとも$1$個のさいころの目が$1$である確率は$[ク]$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$2016$の正の約数は全部で$[ア]$個あり，それらの平均は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{P}_2(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$がある．$x$軸に関して，点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_1$と対称な点をそれぞれ$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$とし，さらに，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積を$S_1(\theta)$，三角形$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4$の面積を$S_2 (\theta)$とする．
(i) $\displaystyle S_1 \left( \frac{\pi}{3} \right)=[ウ]$である．
(ii) $\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \frac{S_1(\theta)}{S_2(\theta)}=[エ]$である．
(iii) $S_1(\theta)$は$\cos \theta=[オ]$のとき最大値$[カ]$をとる．
(1)$2016$の正の約数は全部で$[ア]$個あり，それらの平均は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{P}_2(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$がある．$x$軸に関して，点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_1$と対称な点をそれぞれ$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$とし，さらに，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積を$S_1(\theta)$，三角形$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4$の面積を$S_2 (\theta)$とする．
(i) $\displaystyle S_1 \left( \frac{\pi}{3} \right)=[ウ]$である．
(ii) $\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \frac{S_1(\theta)}{S_2(\theta)}=[エ]$である．
(iii) $S_1(\theta)$は$\cos \theta=[オ]$のとき最大値$[カ]$をとる．
私立 慶應義塾大学 2016年 第3問ある野生動物を$10$匹捕獲し，$0$から$9$の番号で区別して体長と体重を記録したところ以下の表のようになった．体長と体重の単位は省略する．
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ \\ \hline
体長 & $60$ & $66$ & $52$ & $69$ & $54$ & $72$ & $74$ & $60$ & $58$ & $61$ \\ \hline
体重 & $5.5$ & $5.7$ & $5.9$ & $5.9$ & $6.0$ & $6.2$ & $6.2$ & $6.4$ & $6.5$ & $6.7$ \\ \hline
\end{tabular}
(1)この$10$匹の体長の最小値は$[$34$][$35$]$，最大値は$[$36$][$37$]$である．
(2)この$10$匹は$5$匹ずつ$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$種類に分類できる．$1$つの種類の中では体長と体重は正の相関を持つ．$10$匹の体長と体重の相関係数は$0.05$以下だが，種類$\mathrm{A}$の$5$匹に限れば$0.95$以上であり，種類$\mathrm{B}$の$5$匹も$0.95$以上である．また，番号$2$の個体は種類$\mathrm{B}$である．このとき，種類$\mathrm{A}$の$5$匹の番号は小さいほうから順に$[$38$]$，$[$39$]$，$[$40$]$，$[$41$]$，$[$42$]$であり，その$5$匹の体長の平均値は$[$43$][$44$].[$45$]$となる．
(3)$10$匹のうち体長の大きいほうから$5$匹の体長の平均値は$[$46$][$47$].[$48$]$である．$(2)$で求めた平均値と異なるのは，体長の大きい$5$匹のうち番号$[$49$]$の個体が種類$\mathrm{B}$だからである．
(4)$(2)$で求めた種類$\mathrm{A}$の$5$匹の体重の偏差と体長の偏差の積の和は$6.6$，体重の偏差の$2$乗の和の平方根は小数第$3$位を四捨五入すると$0.62$，体長の偏差の$2$乗の和の平方根は小数第$1$位を四捨五入すると$[$50$][$51$]$である．
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ \\ \hline
体長 & $60$ & $66$ & $52$ & $69$ & $54$ & $72$ & $74$ & $60$ & $58$ & $61$ \\ \hline
体重 & $5.5$ & $5.7$ & $5.9$ & $5.9$ & $6.0$ & $6.2$ & $6.2$ & $6.4$ & $6.5$ & $6.7$ \\ \hline
\end{tabular}
(1)この$10$匹の体長の最小値は$[$34$][$35$]$，最大値は$[$36$][$37$]$である．
(2)この$10$匹は$5$匹ずつ$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$種類に分類できる．$1$つの種類の中では体長と体重は正の相関を持つ．$10$匹の体長と体重の相関係数は$0.05$以下だが，種類$\mathrm{A}$の$5$匹に限れば$0.95$以上であり，種類$\mathrm{B}$の$5$匹も$0.95$以上である．また，番号$2$の個体は種類$\mathrm{B}$である．このとき，種類$\mathrm{A}$の$5$匹の番号は小さいほうから順に$[$38$]$，$[$39$]$，$[$40$]$，$[$41$]$，$[$42$]$であり，その$5$匹の体長の平均値は$[$43$][$44$].[$45$]$となる．
(3)$10$匹のうち体長の大きいほうから$5$匹の体長の平均値は$[$46$][$47$].[$48$]$である．$(2)$で求めた平均値と異なるのは，体長の大きい$5$匹のうち番号$[$49$]$の個体が種類$\mathrm{B}$だからである．
(4)$(2)$で求めた種類$\mathrm{A}$の$5$匹の体重の偏差と体長の偏差の積の和は$6.6$，体重の偏差の$2$乗の和の平方根は小数第$3$位を四捨五入すると$0.62$，体長の偏差の$2$乗の和の平方根は小数第$1$位を四捨五入すると$[$50$][$51$]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第2問放物線$y=x^2$上の異なる$2$点を$\mathrm{P}_1(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{P}_2(\beta,\ \beta^2)$とする．ただし$\alpha<\beta$とする．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対し，$S(a,\ b)=b-a^2$とする．次の設問に答えよ．
(1)$S(a,\ b)$の最大値$M(\alpha,\ \beta)$を求めよ．
(2)次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たす線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$上の点の存在範囲の面積を求めよ．
(i) $\displaystyle M(\alpha,\ \beta)=\frac{1}{4}$
(ii) $\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2$を通る直線の傾きの絶対値は$1$以下．
(1)$S(a,\ b)$の最大値$M(\alpha,\ \beta)$を求めよ．
(2)次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たす線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$上の点の存在範囲の面積を求めよ．
(i) $\displaystyle M(\alpha,\ \beta)=\frac{1}{4}$
(ii) $\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2$を通る直線の傾きの絶対値は$1$以下．