次の問いに答えなさい．

(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．

(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．

(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．

$-\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2}$の範囲で，点$\mathrm{P}$は放物線$y=-x^2+2$上を動き，点$\mathrm{Q}$は放物線$y=x^2-2$上を動く．ただし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は異なる点とする．

(1)直線$\mathrm{PQ}$が原点を通るとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．

$-\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2}$の範囲で，点$\mathrm{P}$は放物線$y=-x^2+2$上を動き，点$\mathrm{Q}$は放物線$y=x^2-2$上を動く．ただし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は異なる点とする．

(1)直線$\mathrm{PQ}$が原点を通るとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．

関数$f(x)=\langle\!\langle x \rangle\!\rangle-2 \langle\!\langle x-1 \rangle\!\rangle+\langle\!\langle x-2 \rangle\!\rangle$を考える．

ここで，実数$u$に対して$\displaystyle \langle\!\langle u \rangle\!\rangle=\frac{u+|u|}{2}$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$のグラフをかけ．

(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^1 f(x-t) \, dt$とおくとき，$g(x)$の最大値を求めよ．

(3)$(2)$の$g(x)$に対して，$\displaystyle p(s)=\int_0^3 (x-s)^2 g(x) \, dx$とおくとき，$p(s)$の最小値を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補え．

(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は，全部で$[　]$個である．
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[　]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[　]$である．

座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$，$\mathrm{D}(1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある．点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする．直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする．さらに，直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし，その交点を$\mathrm{P}_3$とする．

(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$，$\mathrm{D}(1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある．点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする．直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする．さらに，直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし，その交点を$\mathrm{P}_3$とする．

(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$，$\mathrm{D}(1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある．点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする．直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする．さらに，直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし，その交点を$\mathrm{P}_3$とする．

(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ．

曲線$\displaystyle y=-x^2+\frac{3}{2}$上の点$\mathrm{P}(x,\ y) (y \geqq 0)$から原点$\mathrm{O}$が中心で半径が$1$である円に$2$本の接線を引き，それらの接点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．四角形$\mathrm{PAOB}$の面積の最大値$M$，最小値$m$とそれらを与える点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．

座標平面上の曲線$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1 (y \geqq 0)$を$C$とする．実数$t>1$に対して，点$(0,\ t)$を通り第$1$象限の点$(a,\ b)$で曲線$C$に接する直線を$\ell$とする．

(1)$x$軸，$y$軸と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とする．$t$が$t>1$の範囲を動くとき，$S_1(t)$の最小値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=b$で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．$t$が$t>1$の範囲を動くとき，導関数$S_2^\prime(t)$の最大値を求めよ．