四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，頂点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．また，四面体$\mathrm{OABC}$は
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．

$a$を$0<a<1$を満たす実数として$x$の関数$f(x)=ax-\log (1+e^x)$の最大値を$M(a)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし必要があれば
\[ \lim_{x \to +0} x \log x=0 \]
が成り立つことを用いてよい．

(1)$M(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の関数$y=M(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)$a$の関数$y=M(a)$のグラフをかけ．

平面上で原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$を考える．実数$s,\ t$に対し，点$\mathrm{P}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
により定める．以下の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$が条件
\[ -1 \leqq s \leqq 1,\quad -1 \leqq t \leqq 1,\quad -1 \leqq s+t \leqq 1 \]
を満たすとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の存在する範囲$D$を図示せよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$(1)$で求めた範囲$D$を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値を求め，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

関数
\[ f(x)=\int_0^\pi |\sin (t-x)-\sin 2t| \, dt \]
の区間$0 \leqq x \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$を考える．$m,\ n$は正の実数とする．

(1)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．このとき${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2$を${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2$と内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．さらに
\[ \frac{mn}{m+n} {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+(m+n) {|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2=n {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+m {|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2 \]
を示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_1$，辺$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_2$，辺$\mathrm{CA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_3$とする．このとき${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2$は
\[ \frac{mn}{{(m+n)}^2} \left( {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2 \right)+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
に等しいことを示せ．
(3)$(2)$の$m,\ n$を変化させたとき
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
の最大値を${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2$で表せ．

空間内に，直線$\ell$で交わる$2$平面$\alpha,\ \beta$と交線$\ell$上の$1$点$\mathrm{O}$がある．さらに，平面$\alpha$上の直線$m$と平面$\beta$上の直線$n$を，どちらも点$\mathrm{O}$を通り$\ell$に垂直にとる．$m,\ n$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，
\[ \mathrm{OP}=\sqrt{3},\quad \mathrm{OQ}=2,\quad \mathrm{PQ}=1 \]
であるとする．線分$\mathrm{PQ}$上の動点$\mathrm{T}$について，$\mathrm{PT}=t$とおく．点$\mathrm{T}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の球$S$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$S$の平面$\alpha$による切り口の面積を$t$を用いて表せ．
(2)$S$の平面$\alpha$による切り口の面積と$S$の平面$\beta$による切り口の面積の和を$f(t)$とおく．$\mathrm{T}$が線分$\mathrm{PQ}$上を動くとき，$f(t)$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

$k$を定数とする．関数$f(x)=x^2-kx+3k-5$について，次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が，異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，ともに$2$以下となる異なる$2$つの解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$1 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最小値を$m(k)$とする．このとき，$0 \leqq k \leqq 10$における$m(k)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．

$n$を自然数とし，放物線$y=-x^2+nx$を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする．$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする．$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ．
(4)$n \geqq 7$とする．放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ．

$n$を自然数とし，$t>0$とする．曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ．
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ．
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ．

$n$を自然数とし，放物線$y=-x^2+nx$を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする．$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする．$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ．
(4)$n \geqq 7$とする．放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ．