$y=e^{-\pi x} \sin (\pi x)$で定められた曲線を$C$とする．

(1)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で$C$の概形をかけ．ただし，凹凸を調べる必要はない．
(2)$n$を自然数とする．$C$の$n-1 \leqq x \leqq n$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$(2)$の$S_n$について，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の値を求めよ．

$xy$平面上において，媒介変数$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$によって$x=a(2 \cos \theta+\cos 2\theta+1)$，$y=a(2 \sin \theta+\sin 2\theta)$と表される下図の曲線について考える．ただし，$a$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dx}{d\theta},\ \frac{dy}{d\theta}$を求めよ．
(2)$x$が最大となる点を点$\mathrm{A}$，$y$が最大となる点を点$\mathrm{B}$，$x$が最小となる点を点$\mathrm{C}$と定める．このとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標および各点での媒介変数$\theta$の値を求めよ．
(3)曲線と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を正の実数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ．
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする．放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき，$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ．

(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．

$a$を正の実数とする．点$\mathrm{P}$は曲線$C_a:y=e^{ax}$上を，点$\mathrm{Q}$は直線$y=x$をそれぞれ動く．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_a$と直線$y=x$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた範囲にある$a$に対して，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$d(a)$とする．$\mathrm{PQ}$の長さが$d(a)$となる曲線$C_a$上の点を$\mathrm{P}_a$とする．

(i) $d(a)$を求めよ．
(ii) 点$\mathrm{P}_a$における曲線$C_a$の接線の傾きを求めよ．
(iii) $a$が$(1)$で求めた範囲を動くときの点$\mathrm{P}_a$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．

(3)$d(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を正の実数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ．
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする．放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき，$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ．

(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．

$a$を定数とし，関数$f(x)=(x-a)e^{\frac{x^2}{2}}$で表される曲線$y=f(x)$を$C$とする．ただし，$e$は自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が極値を持たないために$a$が満たすべき条件を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$で求めた接線が原点を通るような$t$の値を考える．すべての実数の中で，そのような$t$の値が$3$つあるために$a$が満たすべき条件を求めよ．

$t$を$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数とし，関数$\displaystyle f(x)=|\cos x-t| \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で表される曲線$y=f(x)$を$C$とする．曲線$C$と$x$軸との共有点の$x$座標を$\alpha$とする．また，$C$と$x$軸，$y$軸および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形を$D$とし，$D$の面積を$S$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のとき，$D$を図示せよ．
(2)$S$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ．
(4)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$V$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$\displaystyle C:y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$について，傾きが$1$である接線を$\ell$とする．$C$と$\ell$との接点の座標を求めよ．

(2)実数$\alpha,\ \beta$が$0<\alpha<\beta<1$を満たすとき，$2$つの実数$\displaystyle \frac{e^\alpha-\alpha}{\alpha}$と$\displaystyle \frac{e^\beta-\beta}{\beta}$の大小関係を不等号を用いて表せ．

(3)定積分$\displaystyle \int_0^{e-1} x \log (x+1) \, dx$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．また，この関数の逆関数を求めよ．
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について，$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある．曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする．曲線$C$と直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．また，この関数の逆関数を求めよ．
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について，$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある．曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする．曲線$C$と直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．