「曲線」について
タグ「曲線」の検索結果
(9ページ目:全1320問中81問~90問を表示)![山梨大学](./img/univ/yamanashi.png)
$y=e^{-\pi x} \sin (\pi x)$で定められた曲線を$C$とする.
(1)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で$C$の概形をかけ.ただし,凹凸を調べる必要はない.
(2)$n$を自然数とする.$C$の$n-1 \leqq x \leqq n$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ.
(3)$(2)$の$S_n$について,$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の値を求めよ.
(1)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で$C$の概形をかけ.ただし,凹凸を調べる必要はない.
(2)$n$を自然数とする.$C$の$n-1 \leqq x \leqq n$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ.
(3)$(2)$の$S_n$について,$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の値を求めよ.
![豊橋技術科学大学](./img/univ/toyohashi.png)
$xy$平面上において,媒介変数$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$によって$x=a(2 \cos \theta+\cos 2\theta+1)$,$y=a(2 \sin \theta+\sin 2\theta)$と表される下図の曲線について考える.ただし,$a$は正の定数とする.以下の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle \frac{dx}{d\theta},\ \frac{dy}{d\theta}$を求めよ.
(2)$x$が最大となる点を点$\mathrm{A}$,$y$が最大となる点を点$\mathrm{B}$,$x$が最小となる点を点$\mathrm{C}$と定める.このとき,点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の座標および各点での媒介変数$\theta$の値を求めよ.
(3)曲線と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ.
(図は省略)
(1)$\displaystyle \frac{dx}{d\theta},\ \frac{dy}{d\theta}$を求めよ.
(2)$x$が最大となる点を点$\mathrm{A}$,$y$が最大となる点を点$\mathrm{B}$,$x$が最小となる点を点$\mathrm{C}$と定める.このとき,点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の座標および各点での媒介変数$\theta$の値を求めよ.
(3)曲線と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ.
(図は省略)
![愛媛大学](./img/univ/ehime.png)
次の問いに答えよ.
(1)$a,\ b$を正の実数とする.楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$,$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ.
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする.このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする.放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき,$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ.
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする.関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ.
(1)$a,\ b$を正の実数とする.楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$,$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ.
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする.このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする.放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき,$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ.
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする.関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ.
![旭川医科大学](./img/univ/asahikawaika.png)
$a$を正の実数とする.点$\mathrm{P}$は曲線$C_a:y=e^{ax}$上を,点$\mathrm{Q}$は直線$y=x$をそれぞれ動く.このとき,次の問いに答えよ.
(1)曲線$C_a$と直線$y=x$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めよ.
(2)$(1)$で求めた範囲にある$a$に対して,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$d(a)$とする.$\mathrm{PQ}$の長さが$d(a)$となる曲線$C_a$上の点を$\mathrm{P}_a$とする.
(i) $d(a)$を求めよ.
(ii) 点$\mathrm{P}_a$における曲線$C_a$の接線の傾きを求めよ.
(iii) $a$が$(1)$で求めた範囲を動くときの点$\mathrm{P}_a$の軌跡を求め,その概形を図示せよ.
(3)$d(a)$の最大値と,そのときの$a$の値を求めよ.
(1)曲線$C_a$と直線$y=x$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めよ.
(2)$(1)$で求めた範囲にある$a$に対して,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$d(a)$とする.$\mathrm{PQ}$の長さが$d(a)$となる曲線$C_a$上の点を$\mathrm{P}_a$とする.
(i) $d(a)$を求めよ.
(ii) 点$\mathrm{P}_a$における曲線$C_a$の接線の傾きを求めよ.
(iii) $a$が$(1)$で求めた範囲を動くときの点$\mathrm{P}_a$の軌跡を求め,その概形を図示せよ.
(3)$d(a)$の最大値と,そのときの$a$の値を求めよ.
![愛媛大学](./img/univ/ehime.png)
次の問いに答えよ.
(1)$a,\ b$を正の実数とする.楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$,$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ.
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする.このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする.放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき,$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ.
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする.関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ.
(1)$a,\ b$を正の実数とする.楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$,$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ.
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする.このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする.放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき,$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ.
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする.関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ.
![茨城大学](./img/univ/ibaraki.png)
$a$を定数とし,関数$f(x)=(x-a)e^{\frac{x^2}{2}}$で表される曲線$y=f(x)$を$C$とする.ただし,$e$は自然対数の底とする.以下の各問に答えよ.
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)$f(x)$が極値を持たないために$a$が満たすべき条件を求めよ.
(3)曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ.
(4)$(3)$で求めた接線が原点を通るような$t$の値を考える.すべての実数の中で,そのような$t$の値が$3$つあるために$a$が満たすべき条件を求めよ.
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)$f(x)$が極値を持たないために$a$が満たすべき条件を求めよ.
(3)曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ.
(4)$(3)$で求めた接線が原点を通るような$t$の値を考える.すべての実数の中で,そのような$t$の値が$3$つあるために$a$が満たすべき条件を求めよ.
![茨城大学](./img/univ/ibaraki.png)
$t$を$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数とし,関数$\displaystyle f(x)=|\cos x-t| \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で表される曲線$y=f(x)$を$C$とする.曲線$C$と$x$軸との共有点の$x$座標を$\alpha$とする.また,$C$と$x$軸,$y$軸および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形を$D$とし,$D$の面積を$S$とする.以下の各問に答えよ.
(1)$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のとき,$D$を図示せよ.
(2)$S$を$\alpha$を用いて表せ.
(3)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき,$S$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ.
(4)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする.$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき,$V$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ.
(1)$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のとき,$D$を図示せよ.
(2)$S$を$\alpha$を用いて表せ.
(3)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき,$S$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ.
(4)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする.$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき,$V$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ.
![茨城大学](./img/univ/ibaraki.png)
以下の各問に答えよ.ただし,対数は自然対数であり,$e$は自然対数の底である.
(1)曲線$\displaystyle C:y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$について,傾きが$1$である接線を$\ell$とする.$C$と$\ell$との接点の座標を求めよ.
(2)実数$\alpha,\ \beta$が$0<\alpha<\beta<1$を満たすとき,$2$つの実数$\displaystyle \frac{e^\alpha-\alpha}{\alpha}$と$\displaystyle \frac{e^\beta-\beta}{\beta}$の大小関係を不等号を用いて表せ.
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{e-1} x \log (x+1) \, dx$を求めよ.
(1)曲線$\displaystyle C:y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$について,傾きが$1$である接線を$\ell$とする.$C$と$\ell$との接点の座標を求めよ.
(2)実数$\alpha,\ \beta$が$0<\alpha<\beta<1$を満たすとき,$2$つの実数$\displaystyle \frac{e^\alpha-\alpha}{\alpha}$と$\displaystyle \frac{e^\beta-\beta}{\beta}$の大小関係を不等号を用いて表せ.
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{e-1} x \log (x+1) \, dx$を求めよ.
![長崎大学](./img/univ/nagasaki.png)
以下の問いに答えよ.
(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ,$y$のとり得る値の範囲を求めよ.また,この関数の逆関数を求めよ.
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について,$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ.
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある.曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする.曲線$C$と直線$x=a$,および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ,$y$のとり得る値の範囲を求めよ.また,この関数の逆関数を求めよ.
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について,$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ.
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある.曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする.曲線$C$と直線$x=a$,および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
![長崎大学](./img/univ/nagasaki.png)
以下の問いに答えよ.
(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ,$y$のとり得る値の範囲を求めよ.また,この関数の逆関数を求めよ.
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について,$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ.
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある.曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする.曲線$C$と直線$x=a$,および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ,$y$のとり得る値の範囲を求めよ.また,この関数の逆関数を求めよ.
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について,$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ.
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある.曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする.曲線$C$と直線$x=a$,および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.