「曲線」について
タグ「曲線」の検索結果
(2ページ目:全1320問中11問~20問を表示)![名古屋大学](./img/univ/nagoya.png)
曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$,$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとる.ただし$b>-1$とする.このとき,次の条件を満たす$b$の範囲を求めよ.
\mon[条件:] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-1<t<b)$で,$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する.
\mon[条件:] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-1<t<b)$で,$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する.
![名古屋大学](./img/univ/nagoya.png)
曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 4)$,$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとる.ただし$b>-2$とする.このとき,次の条件を満たす$b$の範囲を求めよ.
\mon[条件:] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-2<t<b)$で,$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する.
\mon[条件:] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-2<t<b)$で,$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する.
![名古屋工業大学](./img/univ/nagoyakougyou.png)
関数$\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}$のグラフを曲線$C$とする.
(1)関数$f(x)$の極値を求めよ.
(2)曲線$C$の変曲点を求めよ.
(3)曲線$C$上の点$(0,\ f(0))$における接線を$\ell$とする.曲線$C$と接線$\ell$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
(1)関数$f(x)$の極値を求めよ.
(2)曲線$C$の変曲点を求めよ.
(3)曲線$C$上の点$(0,\ f(0))$における接線を$\ell$とする.曲線$C$と接線$\ell$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
![名古屋工業大学](./img/univ/nagoyakougyou.png)
実数$t$に対し,複素数
\[ \left( \frac{1}{2}+\cos t+i \sin t \right)^2 \]
の実部を$f(t)$,虚部を$g(t)$とする.座標平面上に
\[ \text{曲線}C:x=f(t),\quad y=g(t) \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
がある.
(1)$0 \leqq t \leqq \pi$のとき$f(t)$のとる値の範囲を求めよ.
(2)曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( f \left( \frac{\pi}{3} \right),\ g \left( \frac{\pi}{3} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ.
(3)曲線$C$の$y \leqq 0$の範囲にある部分と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
\[ \left( \frac{1}{2}+\cos t+i \sin t \right)^2 \]
の実部を$f(t)$,虚部を$g(t)$とする.座標平面上に
\[ \text{曲線}C:x=f(t),\quad y=g(t) \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
がある.
(1)$0 \leqq t \leqq \pi$のとき$f(t)$のとる値の範囲を求めよ.
(2)曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( f \left( \frac{\pi}{3} \right),\ g \left( \frac{\pi}{3} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ.
(3)曲線$C$の$y \leqq 0$の範囲にある部分と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
![岡山大学](./img/univ/okayama.png)
$a$は正の数とし,次の関数$y=f_a(x)$のグラフの変曲点を$\mathrm{P}$とする.
\[ f_a(x)=axe^{-\frac{x}{a}} \quad (x \geqq 0) \]
このとき以下の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(2)$a$が区間$1 \leqq a \leqq 2$全体を動くとき,点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$の概形を図示せよ.
(3)$x \geqq 0$における曲線$y=f_1(x)$,$y=f_2(x)$と$(2)$の曲線$C$の$3$曲線で囲まれた部分の面積を求めよ.
\[ f_a(x)=axe^{-\frac{x}{a}} \quad (x \geqq 0) \]
このとき以下の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(2)$a$が区間$1 \leqq a \leqq 2$全体を動くとき,点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$の概形を図示せよ.
(3)$x \geqq 0$における曲線$y=f_1(x)$,$y=f_2(x)$と$(2)$の曲線$C$の$3$曲線で囲まれた部分の面積を求めよ.
![九州工業大学](./img/univ/kyushukougyou.png)
座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0,\ st<1)$を考える.また,$u=st$とする.点$\mathrm{P}$を通る曲線$C$の$2$本の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし,これらの接線と曲線$C$との接点をそれぞれ$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{1}{a} \right)$,$\displaystyle \mathrm{B} \left( b,\ \frac{1}{b} \right)$とする.ただし,$a<b$とする.以下の問いに答えよ.
(1)$a,\ b$を$s,\ t$を用いて表せ.
(2)$2$点$\mathrm{E}(a,\ 0)$,$\mathrm{F}(b,\ 0)$を考える.台形$\mathrm{ABFE}$の面積を$u$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$u$を用いて表せ.
(4)$(3)$で求めた$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S(u)$とする.$S(u)$は区間$0<u<1$で減少することを示せ.
(5)点$\mathrm{P}$が$2$点$(3,\ 0)$,$(0,\ 1)$を結ぶ線分上の端点以外にあるものとする.このとき,$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.また,そのときの面積を求めよ.
(1)$a,\ b$を$s,\ t$を用いて表せ.
(2)$2$点$\mathrm{E}(a,\ 0)$,$\mathrm{F}(b,\ 0)$を考える.台形$\mathrm{ABFE}$の面積を$u$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$u$を用いて表せ.
(4)$(3)$で求めた$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S(u)$とする.$S(u)$は区間$0<u<1$で減少することを示せ.
(5)点$\mathrm{P}$が$2$点$(3,\ 0)$,$(0,\ 1)$を結ぶ線分上の端点以外にあるものとする.このとき,$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.また,そのときの面積を求めよ.
![九州大学](./img/univ/kyushu.png)
座標平面において,$x$軸上に$3$点$(0,\ 0)$,$(\alpha,\ 0)$,$(\beta,\ 0) (0<\alpha<\beta)$があり,曲線$C:y=x^3+ax^2+bx$が$x$軸とこの$3$点で交わっているものとする.ただし,$a,\ b$は実数である.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)曲線$C$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする.$S$を$\alpha$と$\beta$の式で表せ.
(2)$\beta$の値を固定して,$0<\alpha<\beta$の範囲で$\alpha$を動かすとき,$S$を最小とする$\alpha$を$\beta$の式で表せ.
(1)曲線$C$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする.$S$を$\alpha$と$\beta$の式で表せ.
(2)$\beta$の値を固定して,$0<\alpha<\beta$の範囲で$\alpha$を動かすとき,$S$を最小とする$\alpha$を$\beta$の式で表せ.
![金沢大学](./img/univ/kanazawa.png)
平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:x^2+(y-5)^2=16,\quad C_2:y=\frac{1}{4}x^2 \]
を考える.次の問いに答えよ.
(1)$C_1$と$C_2$の共有点の座標を求めよ.
(2)$C_1$と$C_2$を同一平面上に図示せよ.
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ.
\[ C_1:x^2+(y-5)^2=16,\quad C_2:y=\frac{1}{4}x^2 \]
を考える.次の問いに答えよ.
(1)$C_1$と$C_2$の共有点の座標を求めよ.
(2)$C_1$と$C_2$を同一平面上に図示せよ.
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ.
![金沢大学](./img/univ/kanazawa.png)
曲線$C:x^2+4y^2=4$上を動く点$\mathrm{P}$と,$C$上の定点$\mathrm{Q}(2,\ 0)$,$\mathrm{R}(0,\ 1)$がある.次の問いに答えよ.
(1)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値と,そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(2)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$に対して直線$\mathrm{PQ}$を考える.曲線$C$によって囲まれた図形を直線$\mathrm{PQ}$で$2$つに分けたとき,直線$\mathrm{PQ}$の下方にある部分の面積を求めよ.
(1)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値と,そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(2)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$に対して直線$\mathrm{PQ}$を考える.曲線$C$によって囲まれた図形を直線$\mathrm{PQ}$で$2$つに分けたとき,直線$\mathrm{PQ}$の下方にある部分の面積を求めよ.
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.