「方程式」について
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私立 東京都市大学 2015年 第1問次の問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$を$a^2+b^2=1$を満たす実数とするとき，$a+2b$の最大値を求めよ．
(3)$2$次方程式$x^2+ax+24-a=0$が異なる$2$つの整数解をもつとする．実数$a$をすべて求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$を$a^2+b^2=1$を満たす実数とするとき，$a+2b$の最大値を求めよ．
(3)$2$次方程式$x^2+ax+24-a=0$が異なる$2$つの整数解をもつとする．実数$a$をすべて求めよ．
私立 日本女子大学 2015年 第3問座標平面上の$2$つの放物線$y=4x^2+12x+2$と$y=x^2+2$をそれぞれ$C_1$と$C_2$とする．放物線$C_1$と$C_2$の両方に接し，傾きが正の直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$の方程式を$y=ax+b$（$a,\ b$は定数）とおく．$C_1$と$\ell$の接点の$x$座標と$C_2$と$\ell$の接点の$x$座標の小さい方を$s$，大きい方を$t$とする．連立不等式
\[ y \leqq 4x^2+12x+2,\quad y \leqq x^2+2,\quad y \geqq ax+b,\quad s \leqq x \leqq t \]
の表す領域の面積を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$の方程式を$y=ax+b$（$a,\ b$は定数）とおく．$C_1$と$\ell$の接点の$x$座標と$C_2$と$\ell$の接点の$x$座標の小さい方を$s$，大きい方を$t$とする．連立不等式
\[ y \leqq 4x^2+12x+2,\quad y \leqq x^2+2,\quad y \geqq ax+b,\quad s \leqq x \leqq t \]
の表す領域の面積を求めよ．
私立 広島経済大学 2015年 第1問次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$2$次方程式$x^2+mx+m+99=0$が重解を持つときの$m$の値は$m=[$1$]$または$m=-[$2$]$である．また，$m=[$1$]$のときの重解は$x=-[$3$]$である．
(2)$3x^2+17xy-x+10y^2-31y-14$を因数分解すると
\[ (x+[$4$]y+[$5$])([$6$]x+[$7$]y-[$8$]) \]
となる．
(3)$100$人に野球とサッカーについて尋ねたところ，野球が好きな人は$67$人，サッカーが好きな人は$42$人，野球とサッカーの両方が好きな人は$28$人であった．このとき，野球もサッカーも好きでない人は$[$9$]$人，野球だけが好きな人は$[$10$]$人である．
(1)$2$次方程式$x^2+mx+m+99=0$が重解を持つときの$m$の値は$m=[$1$]$または$m=-[$2$]$である．また，$m=[$1$]$のときの重解は$x=-[$3$]$である．
(2)$3x^2+17xy-x+10y^2-31y-14$を因数分解すると
\[ (x+[$4$]y+[$5$])([$6$]x+[$7$]y-[$8$]) \]
となる．
(3)$100$人に野球とサッカーについて尋ねたところ，野球が好きな人は$67$人，サッカーが好きな人は$42$人，野球とサッカーの両方が好きな人は$28$人であった．このとき，野球もサッカーも好きでない人は$[$9$]$人，野球だけが好きな人は$[$10$]$人である．
私立 広島経済大学 2015年 第3問放物線$y=2x^2$を平行移動して得られる放物線について次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$x$軸方向に$-3$，$y$軸方向に$-5$平行移動した放物線の方程式は
$y=[$18$]x^2+[$19$]x+[$20$]$である．
(2)頂点が点$(2,\ 3)$である放物線の方程式は
$y=[$21$]x^2-[$22$]x+[$23$]$である．
(3)$x$軸との交点の$x$座標が$-2$と$4$である放物線の方程式は
$y=[$24$]x^2-[$25$]x-[$26$]$である．
(4)点$\displaystyle \left( 0,\ -\frac{1}{2} \right)$を通り，頂点が直線$y=2x$上にある放物線の方程式は
$\displaystyle y=[$27$]x^2+[$28$]x-\frac{[$29$]}{[$30$]}$である．
(5)放物線の軸は直線$x=3$であり，この放物線を表す関数の$1 \leqq x \leqq 4$における最大値は$5$であるとする．このとき，放物線の方程式は
$y=[$31$]x^2-[$32$]x+[$33$]$である．
(1)$x$軸方向に$-3$，$y$軸方向に$-5$平行移動した放物線の方程式は
$y=[$18$]x^2+[$19$]x+[$20$]$である．
(2)頂点が点$(2,\ 3)$である放物線の方程式は
$y=[$21$]x^2-[$22$]x+[$23$]$である．
(3)$x$軸との交点の$x$座標が$-2$と$4$である放物線の方程式は
$y=[$24$]x^2-[$25$]x-[$26$]$である．
(4)点$\displaystyle \left( 0,\ -\frac{1}{2} \right)$を通り，頂点が直線$y=2x$上にある放物線の方程式は
$\displaystyle y=[$27$]x^2+[$28$]x-\frac{[$29$]}{[$30$]}$である．
(5)放物線の軸は直線$x=3$であり，この放物線を表す関数の$1 \leqq x \leqq 4$における最大値は$5$であるとする．このとき，放物線の方程式は
$y=[$31$]x^2-[$32$]x+[$33$]$である．
私立 東京都市大学 2015年 第4問次の問に答えよ．
(1)曲線$y=\cos (\pi x)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{9}{4},\ \cos \frac{9 \pi}{4} \right)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$a,\ b$を定数とする．放物線$y=a(x-b)^2$が点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{9}{4},\ \cos \frac{9 \pi}{4} \right)$を通り，点$\mathrm{P}$におけるこの放物線の接線が$(1)$で求めた接線と一致するとき，$a,\ b$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$に対し
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\cos \pi x & \left( x \leqq \displaystyle\frac{9}{4} \right) \\
a(x-b)^2 & \left( x \geqq \displaystyle\frac{9}{4} \right) \phantom{\frac{[ ]^{[ ]}}{2}}
\end{array} \right. \]
とする．$y=f(x)$のグラフをかけ．
(1)曲線$y=\cos (\pi x)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{9}{4},\ \cos \frac{9 \pi}{4} \right)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$a,\ b$を定数とする．放物線$y=a(x-b)^2$が点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{9}{4},\ \cos \frac{9 \pi}{4} \right)$を通り，点$\mathrm{P}$におけるこの放物線の接線が$(1)$で求めた接線と一致するとき，$a,\ b$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$に対し
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\cos \pi x & \left( x \leqq \displaystyle\frac{9}{4} \right) \\
a(x-b)^2 & \left( x \geqq \displaystyle\frac{9}{4} \right) \phantom{\frac{[ ]^{[ ]}}{2}}
\end{array} \right. \]
とする．$y=f(x)$のグラフをかけ．
私立 東京都市大学 2015年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$\log_2 104+\log_2 (27+2+2)-\log_2(2015 \times 2 \div 10)$の値は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が等式$(2+xi)(5+i)=3y-8i$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)整式$P(x)=x^4$を$x-2$で割ると商が$[エ]$，余りが$[オ]$となる．$P(x)$を$(x-2)^2$で割ると商が$[カ]$，余りが$[キ]$となる．
(4)$3$次方程式$\displaystyle \frac{2}{3}x^3-ax^2+a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，実数の定数$a$の値の範囲は$[ク]$である．
(5)自然数$n$に対して$a_n=2^{-n}$，$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} x \, dx$，$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n b_k$と定義する．$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=[ケ]$となるので，数列$\{b_n\}$は初項$[コ]$，公比$[サ]$の等比数列といえる．また，$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=[シ]$となるので，数列$\{c_n\}$の和$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を$n$の式で表すと$\displaystyle S_n=[ス]$となる．
(6)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとする．$4$回とも同じ目が出る確率は$[セ]$であり，$1$から$4$までの目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率は$[ソ]$である．また，出る目が$1$と$2$の$2$種類になる確率は$[タ]$であり，出る目が$1$から$6$までのいずれか$2$種類になる確率は$[チ]$である．
(7)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(6,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 4)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が条件$\displaystyle 0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲が$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の周および内部であるとすると，点$\mathrm{A}^\prime$の座標は$[ツ]$，点$\mathrm{B}^\prime$の座標は$[テ]$である．ただし，点$\mathrm{A}^\prime$は直線$\mathrm{OA}$上，点$\mathrm{B}^\prime$は直線$\mathrm{OB}$上にあるものとする．また，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 9,\ \frac{9}{2} \right)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OCD}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s^\prime \overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^\prime \overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．点$\mathrm{Q}$の存在範囲が点$\mathrm{P}$の存在範囲と一致するとき，実数$s^\prime$と$t^\prime$の満たす条件は$[ト]$である．
(8)絶対値の記号を用いずに関数$f(x)=|3x^2-3x|-1$を表すと，$0 \leqq x \leqq 1$のとき$f(x)=[ナ]$となり，$x \leqq 0$，$1 \leqq x$のとき$f(x)=[ニ]$となる．したがって，定積分$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx$の値は，$0 \leqq a \leqq 1$のとき$[ヌ]$，$1 \leqq a$のとき$[ネ]$となる．
(1)$\log_2 104+\log_2 (27+2+2)-\log_2(2015 \times 2 \div 10)$の値は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が等式$(2+xi)(5+i)=3y-8i$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)整式$P(x)=x^4$を$x-2$で割ると商が$[エ]$，余りが$[オ]$となる．$P(x)$を$(x-2)^2$で割ると商が$[カ]$，余りが$[キ]$となる．
(4)$3$次方程式$\displaystyle \frac{2}{3}x^3-ax^2+a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，実数の定数$a$の値の範囲は$[ク]$である．
(5)自然数$n$に対して$a_n=2^{-n}$，$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} x \, dx$，$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n b_k$と定義する．$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=[ケ]$となるので，数列$\{b_n\}$は初項$[コ]$，公比$[サ]$の等比数列といえる．また，$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=[シ]$となるので，数列$\{c_n\}$の和$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を$n$の式で表すと$\displaystyle S_n=[ス]$となる．
(6)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとする．$4$回とも同じ目が出る確率は$[セ]$であり，$1$から$4$までの目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率は$[ソ]$である．また，出る目が$1$と$2$の$2$種類になる確率は$[タ]$であり，出る目が$1$から$6$までのいずれか$2$種類になる確率は$[チ]$である．
(7)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(6,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 4)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が条件$\displaystyle 0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲が$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の周および内部であるとすると，点$\mathrm{A}^\prime$の座標は$[ツ]$，点$\mathrm{B}^\prime$の座標は$[テ]$である．ただし，点$\mathrm{A}^\prime$は直線$\mathrm{OA}$上，点$\mathrm{B}^\prime$は直線$\mathrm{OB}$上にあるものとする．また，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 9,\ \frac{9}{2} \right)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OCD}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s^\prime \overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^\prime \overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．点$\mathrm{Q}$の存在範囲が点$\mathrm{P}$の存在範囲と一致するとき，実数$s^\prime$と$t^\prime$の満たす条件は$[ト]$である．
(8)絶対値の記号を用いずに関数$f(x)=|3x^2-3x|-1$を表すと，$0 \leqq x \leqq 1$のとき$f(x)=[ナ]$となり，$x \leqq 0$，$1 \leqq x$のとき$f(x)=[ニ]$となる．したがって，定積分$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx$の値は，$0 \leqq a \leqq 1$のとき$[ヌ]$，$1 \leqq a$のとき$[ネ]$となる．
私立 日本福祉大学 2015年 第2問次の方程式を満たす整数$x,\ y$を求めよ．
(1)$4x^2-y^2=12$
(2)$2x^2-7xy+3y^2-x+8y-10=0$
(1)$4x^2-y^2=12$
(2)$2x^2-7xy+3y^2-x+8y-10=0$
私立 大阪工業大学 2015年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．
(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．
私立 旭川大学 2015年 第1問次の各設問に答えなさい．
(1)$\displaystyle 3+\frac{n-2}{2}<\frac{n}{3}$を満たす最大の整数$n$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．ただし$a \neq 0$とする．$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$(-1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(3,\ -6)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$桁の整数は全部で$[ア]$通りであり，その中で$2015$以下の整数は$[イ]$通りである．ただし，同じ数字は繰り返し使わないものとする．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{8}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}$である．このとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(5)方程式$|x^2-2|=x$の解を求めよ．
(1)$\displaystyle 3+\frac{n-2}{2}<\frac{n}{3}$を満たす最大の整数$n$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．ただし$a \neq 0$とする．$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$(-1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(3,\ -6)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$桁の整数は全部で$[ア]$通りであり，その中で$2015$以下の整数は$[イ]$通りである．ただし，同じ数字は繰り返し使わないものとする．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{8}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}$である．このとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(5)方程式$|x^2-2|=x$の解を求めよ．
私立 西南学院大学 2015年 第2問$3$次関数$f(x)=-4x^3+15x^2+18x+a$は，$\displaystyle x=\frac{[ケコ]}{[サ]}$で極小値，$x=[シ]$で極大値をとる．
また，方程式$f(x)=0$の異なる$3$つの実数解のうち$2$つが負となるような定数$a$の範囲は，$\displaystyle [ス]<a<\frac{[セソ]}{[タ]}$である．
また，方程式$f(x)=0$の異なる$3$つの実数解のうち$2$つが負となるような定数$a$の範囲は，$\displaystyle [ス]<a<\frac{[セソ]}{[タ]}$である．