「方程式」について
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国立 島根大学 2015年 第2問$a$を実数とし，関数$f(x)=4^x+a \cdot 2^{x-1}+a$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の最小値が$-2$となるとき，$a$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(1)関数$f(x)$の最小値が$-2$となるとき，$a$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
国立 奈良女子大学 2015年 第6問$a,\ b$を実数とする．$f(x)=x^2+ax+b$，$g(x)=x^2+bx+a$とする．$2$次方程式$f(x)=0$が実数解をもつとする．その実数解の$1$つが$2$次方程式$g(x)=0$の$1$つの解の逆数であるとする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)=0$の解と$g(x)=0$の解をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とする．直線$y=x-1$と放物線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を$S_1$とし，直線$y=x-1$と放物線$y=g(x)$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=27:8$となるとき，$a$の値を求めよ．
(1)$f(x)=0$の解と$g(x)=0$の解をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とする．直線$y=x-1$と放物線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を$S_1$とし，直線$y=x-1$と放物線$y=g(x)$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=27:8$となるとき，$a$の値を求めよ．
国立 長崎大学 2015年 第4問区間$0 \leqq x \leqq \pi$上で定義される関数
\[ f(x)=\cos 2x-4 \sin^3 x \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$の解を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
\[ f(x)=\cos 2x-4 \sin^3 x \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$の解を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第7問次の各問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．
(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．
国立 電気通信大学 2015年 第1問関数
\[ f(x)=x+\sin 2x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
に対して，曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)曲線$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{4},\ f \left( \frac{\pi}{4} \right) \right)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)関数$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$C$，$y$軸および接線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)不定積分$\displaystyle \int x \sin 2x \, dx$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(5)曲線$C$，$x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
\[ f(x)=x+\sin 2x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
に対して，曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)曲線$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{4},\ f \left( \frac{\pi}{4} \right) \right)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)関数$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$C$，$y$軸および接線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)不定積分$\displaystyle \int x \sin 2x \, dx$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(5)曲線$C$，$x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第4問$a \geqq 0$，$b \geqq 0$とする．このとき，変数$x$の関数
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
国立 宮崎大学 2015年 第2問$a \geqq 0$，$b \geqq 0$とする．このとき，変数$x$の関数
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．