$n$を$2$以上の自然数とする．

(1)方程式$z^n=1$をみたす複素数$z$をすべて求めよ．
(2)$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を実数かつ$c_0 \neq 0$とする．方程式
\[ c_0z^n+c_1z^{n-1}+\cdots+c_n=0 \]
のすべての解を$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n$とするとき，$\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_n$を$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{2k\pi}{n}$を求めよ．

$k$を定数とする．関数$f(x)=x^2-kx+3k-5$について，次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が，異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，ともに$2$以下となる異なる$2$つの解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$1 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最小値を$m(k)$とする．このとき，$0 \leqq k \leqq 10$における$m(k)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．

$xy$平面上に点$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{2})$，点$\mathrm{B}(0,\ -\sqrt{2})$がある．点$\mathrm{P}$は
\[ \mathrm{PB}=\mathrm{PA}+2 \]
を満たすように$xy$平面上を動き，軌跡$C$をえがく．以下の問いに答えよ．

(1)軌跡$C$の方程式を求め，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる範囲を示せ．

(2)軌跡$C$の方程式について，導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を求めよ．



$a$を実数とする．曲線$x^2+(y-a)^2=9$と軌跡$C$との共有点について，以下の問いに答えよ．


\mon[$(3)$] $a=4$のとき，共有点の個数を求めよ．
\mon[$(4)$] $a$の値によって共有点の個数がどのように変わるか調べよ．

$xy$平面の直線$y=(\tan 2 \theta)x$を$\ell$とする．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$とする．図で示すように，円$C_1$，$C_2$を以下の$(ⅰ)$～$\tokeishi$で定める．

(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する．
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である．
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$，$x$軸の正の部分，および円$C_1$と接する．
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす．

円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち，$x$軸，直線$\ell$と異なる直線を$m$とし，直線$m$と直線$\ell$，$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．

(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ．
（図は省略）

$k$を実数として$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

$k$を実数として$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

曲線$C:y=x^2$と，$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=x^2$と，$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=x^2$と，$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を実数とする．$x$の方程式
\[ \log_2 (x-3)=\log_4 (2x-a) \]
が異なる$2$つの実数解をもつための$a$の条件を求めなさい．