$a,\ b$は定数で$b>0$とする．$2$つの$2$次方程式

$x^2+2ax-a^2+b=0 \qquad \cdots①$
$\displaystyle x^2+ax+a+\frac{5}{4}=0 \qquad \;\!\cdots②$

について，以下の問いに答えなさい．

(1)$b=2$とするとき，$2$つの$2$次方程式$①$と$②$がともに実数解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)$\displaystyle b=\frac{1}{2}$とするとき，$2$つの$2$次方程式$①$と$②$のどちらか一方だけが実数解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．
(3)$2$次方程式$①$が実数解をもち，$2$次方程式$②$が実数解をもたないような$a$の値の範囲を$b$を用いて表しなさい．

次の問いに答えよ．

(1)次の計算をせよ．ただし，$i$は虚数単位である．


(i) $\displaystyle \int_1^e x^9 \log x \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos \left( \frac{k\pi}{2n} \right)=[ロ]$

(iii) $(-1+i)^{21}=[ハ]$


(2)$1333$と$1147$の最大公約数は$[ニ]$である．
(3)方程式$8^x+4^x=9 \times 2^x+9$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$において関数$y=2 \sin^2 x+2 \cos x+1$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$|\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}=\sqrt{13}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=24$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}=[チ]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[リ]$である．

$3$次方程式$\displaystyle x^3+ax^2+bx+\frac{b}{k}=0$は$2$つの異なる整数解$p,\ q$をもち，$p$は重解である．ただし，$pq \neq 0$とする．また，$k$は，$k \neq 0$の整数とする．このとき，$a,\ b,\ k$の値の組をすべて求めよ．

関数$f(x)=x^4-2x^2+x$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$と$2$点で接する直線の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$(1)$で求めた直線で囲まれた領域の面積を求めよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に入れるのに適する数値，式を答えよ．

(1)方程式$|x+2|-|x-1|=3x-4$を満たす$x$の値は$[ア]$である．
(2)$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$\mathrm{A}(5,\ 2)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ 2)$を通るとき，$a=[イ]$，$b=[ウ]$，$c=[エ]$である．この関数$y$のグラフを$x$軸方向に$-3$だけ平行移動したグラフを表す$2$次関数は$y=[オ]$である．
(3)あるクラスの男子学生の身長が，それぞれ$184 \, \mathrm{cm}$，$160 \, \mathrm{cm}$，$165 \, \mathrm{cm}$，$172 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$175 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$180 \, \mathrm{cm}$であるとき，中央値は$[カ] \, \mathrm{cm}$で，分散は$[キ]$である．
(4)$1$から$8$までの数字がひとつずつ書かれた$8$枚のカードの中から同時に$2$枚を選ぶとき，その和が$9$の場合は$100$点，その積が$40$以上の場合は$-25$点，その他の場合は$20$点与えられるものとする．得点の期待値は$[ク]$点である．
(5)不定方程式$17x-13y=1$の整数解を整数$m$を用いて表すと$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ニ]$に入れるのに適する数値，式を答えよ．

(1)$2$次方程式$2x^2-3x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2,\ \beta^2$を解とする$2$次方程式の$1$つは$[サ]$である．
(2)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 7)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(3,\ 4)$を通る円の方程式は$[シ]$である．また，この円と直線$y=x+k$が接するとき$k=[ス]$，$[セ]$である．
(3)関数$y=\cos 2x+2 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めると，$x=[ソ]$，$[タ]$のとき最大値$y=[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$y=[テ]$をとる．
(4)不等式$\log_2(x+5)+\log_2(x-2)<3$を満たす$x$の範囲は$[ト]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2n^2-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ナ]$であり，$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_na_{n+1}$を$n$の式で表すと$[ニ]$である．

関数$f(x)=\sqrt{2} \cos 2x-3 \sin x$について，次の問いに答えよ．

(1)$\sin x=t$とおいて，$f(x)$を$t$で表せ．
(2)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における解を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$と$\cos \alpha$の値を求めよ．
(4)$(3)$の$\alpha$について，定積分$\displaystyle \int_0^\alpha f(x) \, dx$の値を求めよ．

曲線$C:y=(\log_e x)^2$とする．

(1)点$(0,\ 3)$から$C$に引いた接線の方程式をすべて求めよ．
(2)$C$と$x$軸，および直線$x=e$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を$0$でない実数とする．$xy$平面上に$3$つの曲線$C_1:y=x^2+a^4$，$C_2:y=x^2$，$C_3:y=-x^2+2a^2x-2a^4+4a$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$に$1$本の接線を引き，$C_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と，点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の軌跡$C_4$の方程式を求めよ．
(2)$C_3$と$C_4$が$2$つの交点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たすとき，$C_3$と$C_4$で囲まれた部分の面積を$a$の関数と考えて$S(a)$とする．$S(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の指数方程式を解け．
\[ 3^{x+1}+3^{2-x}=12 \]
(2)$f(x)=x^3-4x^2-2x+5$とする．以下の問いに答えよ．

(i) 曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線の傾きを，$a$を用いて表せ．
(ii) 曲線$y=f(x)$上の$2$点$(a,\ f(a))$，$(a+1,\ f(a+1))$における接線が平行になるとき，$a$の値を求めよ．