$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$をみたす実数とする．
\[ f(x)=x^2-(2 \cos \theta)x-\sin^2 \theta+\sin \theta+\frac{1}{2} \]
とおくとき，以下の問いに答えなさい．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を求めなさい．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$\theta$の範囲を求めなさい．
(3)$\theta$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(\theta)$とする．$S(\theta)$を最大にする$\theta$の値と，$S(\theta)$の最大値を求めなさい．

以下の問いに答えよ．

(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々

$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$

で与えられる．標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3)$n$を自然数とする．漸化式

$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$

で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [　] \]
ただし，積分定数は書かなくてよい．

楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$の焦点を$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$とする．ただし，$\mathrm{F}$の$x$座標は正である．正の実数$m$に対し，$2$直線$y=mx$，$y=-mx$を漸近線にもち，$2$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$を焦点とする双曲線を$C_2$とする．第$1$象限にある$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C_2$の方程式を$m$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{FP}$および線分$\mathrm{F}^\prime \mathrm{P}$の長さを$m$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}={60}^\circ$となる$m$の値を求めよ．

曲線$y=\log x$を$C$で表す．$1<p<e$をみたす実数$p$に対し，曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ \log p)$における接線を$\ell$とし，$\ell$の方程式を$y=ax+b$とする．ただし，$\log x$は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$a$を$p$の式で表しなさい．
(2)$b$を$p$の式で表しなさい．
(3)$x$軸と直線$\ell$および曲線$C$で囲まれた図形$D_1$の面積を$p$の式で表しなさい．
(4)$x$軸と$y$軸および直線$\ell$で囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積と$D_2$の面積が等しいとき，$p$の値を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)すべての実数$x$に対して
\[ x^4-19x^2+9=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \]
となるような整数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めなさい．ただし$a \geqq c$とする．
(2)$4$次方程式$x^4-19x^2+9=0$の解を求めなさい．
(3)不等式$x^4-19x^2+9<0$を満たす$x$の範囲を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)複素数平面において，$\alpha=3+i$，$\beta=5-3i$とする．点$\beta$を，点$\alpha$を中心として$\displaystyle \frac{2}{3} \pi$だけ回転した点を表す複素数$\gamma$を求めよ．
(2)点$(0,\ 1)$から曲線$3x^2-2y^2=-6$に引いた接線の方程式を求めよ．

関数$f(x)=x-\log x (x>0)$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減，極値と，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(e,\ f(e))$における接線を$\ell$とする．

(i) $\ell$の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$y=f(x)$，接線$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)曲線$y=f(x)$，曲線$y=\log x$，直線$x=1$および直線$x=e$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

関数$y=e^{-x}$で表される曲線を$C$とする．また，$t$は$0<t<2$をみたす実数とし，$x=t$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$y$軸，曲線$C$および接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$，$x$軸，直線$x=3$，曲線$C$および接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S_1(t)+S_2(t)$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)異なる複素数$\alpha,\ \beta$に対して，$\displaystyle \frac{z-\alpha}{z-\beta}$が純虚数となるような$z$は，複素数平面上でどのような図形を描くか．
(2)$2$次方程式$x^2-2x+4=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$\alpha$の虚部は正であるとする．等式
\[ \arg{\displaystyle\frac{z-\alpha^2}{z-\beta^2}}=\frac{\pi}{2} \]
をみたす$z$が，複素数平面上で描く図形を図示せよ．

以下の問いに答えよ．

(1)ド・モアブルの定理を用いて
\[ \sin (7\theta) \]
を$\sin \theta,\ \cos \theta$およびそれらの累乗で表わせ．
(2)$3$次方程式
\[ 7x^3-35x^2+21x-1=0 \]
を解け．
(3)和
\[ \frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{\pi}{7}}+\frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{3\pi}{7}} \]
を求めよ．