タグ「方程式」の検索結果

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金沢大学 国立 金沢大学 2016年 第4問
$a,\ b$を実数とする.$f(x)=2 \sqrt{1+x^2}-ax^2$とし,$x$についての方程式$f(x)=b$を考える.次の問いに答えよ.

(1)$a>0$のとき,関数$f(x)$の最大値を求めよ.
(2)方程式$f(x)=b$の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ.
新潟大学 国立 新潟大学 2016年 第1問
整式$P(x)=x^4+x^3+x-1$について,次の問いに答えよ.

(1)$i$を虚数単位とするとき,$P(i)$,$P(-i)$の値を求めよ.
(2)方程式$P(x)=0$の実数解を求めよ.
(3)$Q(x)$を$3$次以下の整式とする.次の条件

$Q(1)=P(1),\quad Q(-1)=P(-1),$
$Q(2)=P(2),\quad Q(-2)=P(-2)$

をすべて満たす$Q(x)$を求めよ.
新潟大学 国立 新潟大学 2016年 第4問
関数$f(x)=|x^2-4|-3$について,次の問いに答えよ.

(1)方程式$f(x)=0$の解を求めよ.
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ.
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ.
新潟大学 国立 新潟大学 2016年 第1問
整式$P(x)=x^4+x^3+x-1$について,次の問いに答えよ.

(1)$i$を虚数単位とするとき,$P(i)$,$P(-i)$の値を求めよ.
(2)方程式$P(x)=0$の実数解を求めよ.
(3)$Q(x)$を$3$次以下の整式とする.次の条件

$Q(1)=P(1),\quad Q(-1)=P(-1),$
$Q(2)=P(2),\quad Q(-2)=P(-2)$

をすべて満たす$Q(x)$を求めよ.
静岡大学 国立 静岡大学 2016年 第2問
$a,\ b$を実数とする.$3$次関数$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+b$について次の各問に答えよ.

(1)関数$f(x)$が極値をもつための$a$の条件を求めよ.
(2)方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの正の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し,この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ.
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの相異なる正の実数解と$1$つの負の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し,この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第5問
$a$を正の実数とし,曲線$y=x^3$を$C_1$,曲線$\displaystyle y=\frac{9}{8}ax^2$を$C_2$とする.また,$C_1$と$C_2$の共通接線で$C_1$と$2$点を共有するものを$\ell$とする.

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$C_1$と$\ell$が囲む図形の面積$S$を求めよ.
(3)$C_2$と$\ell$の接点の$x$座標$p$を求めよ.さらに$\displaystyle I=\int_0^p \left( \frac{9}{8}ax^2-x^3 \right) \, dx$とするとき,比$S:I$を最も簡単な整数比で表せ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2016年 第3問
$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき,以下の問に答えよ.

(1)$\theta$の方程式$\cos 3\theta+\cos \theta=0$を解け.
(2)$k$を正の整数とする.$\theta$の方程式
\[ \cos 3\theta-k \cos \theta=0 \]
が解をもつ$k$を求めよ.また,そのときの解$\theta$を求めよ.
(3)$m$と$n$を正の整数とする.$\theta$の方程式
\[ m \cos \theta-3 \cos 3\theta+n(1+\cos 2\theta)=0 \]
が解をもつ$m,\ n$の組$(m,\ n)$を求めよ.また,そのときの解$\theta$を求めよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2016年 第3問
$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき,以下の問に答えよ.

(1)$\theta$の方程式$\cos 3\theta+\cos \theta=0$を解け.
(2)$k$を正の整数とする.$\theta$の方程式
\[ \cos 3\theta-k \cos \theta=0 \]
が解をもつ$k$を求めよ.また,そのときの解$\theta$を求めよ.
(3)$m$と$n$を正の整数とする.$\theta$の方程式
\[ m \cos \theta-3 \cos 3\theta+n(1+\cos 2\theta)=0 \]
が解をもつ$m,\ n$の組$(m,\ n)$を求めよ.また,そのときの解$\theta$を求めよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2016年 第5問
$xy$平面上に,直線$\ell:y=-x-2$と点$\mathrm{A}(1,\ 1)$がある.点$\mathrm{A}$からの距離と直線$\ell$からの距離が等しい点の軌跡を曲線$C$とする.以下の問に答えよ.

(1)曲線$C$の方程式を求めよ.
(2)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標を求めよ.
(3)曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
愛知教育大学 国立 愛知教育大学 2016年 第6問
次の問いに答えよ.

(1)複素数平面において,方程式$|z+1|=|z-1|$を満たす点$z$全体はどのような図形か答えよ.
(2)複素数$z (z \neq -1)$に対し,$\displaystyle w=\frac{i(1-z)}{1+z}$とする.このとき,どんな$z$に対しても$w=-i$とはならないことを示せ.
(3)点$z$が$(1)$で求めた図形の上を動くとき,$(2)$の点$w$はどのような図形を描くか答えよ.
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