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私立 福岡大学 2016年 第2問次の$[ ]$をうめよ．
(1)方程式$\log_2 (5-x)=\log_8 (x^2-15)$を解くと$[ ]$である．また，変数$a,\ b$が$\log_9 a=(\log_3 b)^2$をみたすとき$\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^8$の最小値は$[ ]$である．
(2)$a_1=-30$，$a_{n+1}-a_n=-2n+18$で定められる数列$\{a_n\}$について，$a_n>0$である$n$の個数を求めると$[ ]$であり，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$の最大値を求めると$[ ]$である．
(1)方程式$\log_2 (5-x)=\log_8 (x^2-15)$を解くと$[ ]$である．また，変数$a,\ b$が$\log_9 a=(\log_3 b)^2$をみたすとき$\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^8$の最小値は$[ ]$である．
(2)$a_1=-30$，$a_{n+1}-a_n=-2n+18$で定められる数列$\{a_n\}$について，$a_n>0$である$n$の個数を求めると$[ ]$であり，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$の最大値を求めると$[ ]$である．
私立 玉川大学 2016年 第2問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$であるとする．$\mathrm{CA}=x$とおくとき，
\[ \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{[ア]+x^2}{[イ]x} \]
である．$\angle \mathrm{BAC}$の最大は，${[ウエ]}^\circ$であり，このとき，$x=[オ]$である．
(2)$1 \leqq x \leqq 100$とする．このとき，方程式$2x+3y=31$をみたす整数の組$(x,\ y)$の個数は，$[カキ]$個で，$x$が最小となる解は，$(x,\ y)=([ク],\ [ケ])$である．
(3)方程式
\[ 2 \sin^3 x+\cos 2x-\sin x=0 \]
を解くと，$n$を任意の整数として
\[ x=\frac{\pi}{[コ]}+2n \pi,\ \frac{\pi}{[サ]}+\frac{1}{[シ]}n \pi \]
となる．
(4)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(t,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(t+\sqrt{2}-1,\ \sqrt{2})$とする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が鋭角になる条件は，
\[ t>[ス],\quad t<-\sqrt{[セ]} \]
であり，鈍角になる条件は，
\[ -\sqrt{[ソ]}<t<[タ] \]
である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+n$で表されるとき，
\[ a_n=[チ]n \]
である．また，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k+1)^2=\frac{n}{[ツ]} ([テ]n^2+[トナ]n+[ニヌ]) \]
である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$であるとする．$\mathrm{CA}=x$とおくとき，
\[ \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{[ア]+x^2}{[イ]x} \]
である．$\angle \mathrm{BAC}$の最大は，${[ウエ]}^\circ$であり，このとき，$x=[オ]$である．
(2)$1 \leqq x \leqq 100$とする．このとき，方程式$2x+3y=31$をみたす整数の組$(x,\ y)$の個数は，$[カキ]$個で，$x$が最小となる解は，$(x,\ y)=([ク],\ [ケ])$である．
(3)方程式
\[ 2 \sin^3 x+\cos 2x-\sin x=0 \]
を解くと，$n$を任意の整数として
\[ x=\frac{\pi}{[コ]}+2n \pi,\ \frac{\pi}{[サ]}+\frac{1}{[シ]}n \pi \]
となる．
(4)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(t,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(t+\sqrt{2}-1,\ \sqrt{2})$とする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が鋭角になる条件は，
\[ t>[ス],\quad t<-\sqrt{[セ]} \]
であり，鈍角になる条件は，
\[ -\sqrt{[ソ]}<t<[タ] \]
である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+n$で表されるとき，
\[ a_n=[チ]n \]
である．また，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k+1)^2=\frac{n}{[ツ]} ([テ]n^2+[トナ]n+[ニヌ]) \]
である．
私立 東京電機大学 2016年 第3問$a$を正の実数とする．関数$f(x)=e^{a(x+1)}-ax$とする．次の各問に答えよ．
(1)$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)原点から曲線$y=f(x)$に引いた接線の方程式を求めよ．
(3)この曲線と$y$軸，及び$(2)$で求めた接線によって囲まれた部分の面積$S(a)$を求めよ．
(4)$S(a)$の最小値を求めよ．
(1)$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)原点から曲線$y=f(x)$に引いた接線の方程式を求めよ．
(3)この曲線と$y$軸，及び$(2)$で求めた接線によって囲まれた部分の面積$S(a)$を求めよ．
(4)$S(a)$の最小値を求めよ．
私立 東洋大学 2016年 第1問次の各問に答えよ．
(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると，
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる．
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき，$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で，そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である．
(4)$k$を定数とするとき，方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である．
(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると，
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる．
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき，$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で，そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である．
(4)$k$を定数とするとき，方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である．
私立 大阪工業大学 2016年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$2x^2-5x+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$2(\alpha-2)(\beta-2)=[イ]$である．
(2)$2^6=13 \times [ウ]-1$であり，$2^{100}$を$13$で割ると$[エ]$余る．ただし，$0 \leqq [エ]<13$とする．
(3)$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[オ]$である．また，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$[カ]:1$に内分する．
(4)大小$2$つのさいころを同時に投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とする．このとき，積$ab$が偶数になる目の出方は$[キ]$通りあり，$a+3b$が$5$の倍数になる目の出方は$[ク]$通りある．
(1)$2$次方程式$2x^2-5x+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$2(\alpha-2)(\beta-2)=[イ]$である．
(2)$2^6=13 \times [ウ]-1$であり，$2^{100}$を$13$で割ると$[エ]$余る．ただし，$0 \leqq [エ]<13$とする．
(3)$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[オ]$である．また，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$[カ]:1$に内分する．
(4)大小$2$つのさいころを同時に投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とする．このとき，積$ab$が偶数になる目の出方は$[キ]$通りあり，$a+3b$が$5$の倍数になる目の出方は$[ク]$通りある．
私立 福岡大学 2016年 第1問次の$[ ]$をうめよ．
(1)$4$次方程式$x^4-x^3+ax^2+bx+2=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，係数$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[ ]$である．また，この方程式の他の解を求めると，$[ ]$である．
(2)袋の中に$1$から$13$までの数が$1$つずつ書かれた$13$個の玉が入っている．この袋の中から，$2$個の玉を同時にとり出す．このとき，とり出した玉に書かれた$2$つの数の和が偶数になる確率は$[ ]$である．また，とり出した玉に書かれた数がどちらも$10$以下であったとき，数の和が偶数である条件付き確率は$[ ]$である．
(3)$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{C}(4,\ -5,\ 1)$がある．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めると$\cos \theta=[ ]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
(1)$4$次方程式$x^4-x^3+ax^2+bx+2=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，係数$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[ ]$である．また，この方程式の他の解を求めると，$[ ]$である．
(2)袋の中に$1$から$13$までの数が$1$つずつ書かれた$13$個の玉が入っている．この袋の中から，$2$個の玉を同時にとり出す．このとき，とり出した玉に書かれた$2$つの数の和が偶数になる確率は$[ ]$である．また，とり出した玉に書かれた数がどちらも$10$以下であったとき，数の和が偶数である条件付き確率は$[ ]$である．
(3)$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{C}(4,\ -5,\ 1)$がある．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めると$\cos \theta=[ ]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
私立 金沢工業大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$のとき，$x^2+y^2-xy=[アイ]$である．
(2)$\displaystyle 1+\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{x}}}=\frac{[ウ]x+[エ]}{[オ]x+[カ]}$である．
(3)$k$を定数とする．$2$次方程式$x^2+(3k+1)x+2k^2+2k-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，$\beta-\alpha=2$とする．このとき，$k=[キ]$であり，$\alpha=[クケ]$，$\beta=[コサ]$である．
(4)不等式$|2x^2+x-2|>1$の解は$\displaystyle x<\frac{[シス]}{[セ]}$，$\displaystyle [ソタ]<x<\frac{[チ]}{[ツ]}$，$[テ]<x$である．
(5)等式$720x=y^3$を満たす正の整数$x,\ y$の組のうち，$x$が最小であるものは$x=[アイウ]$，$y=[エオ]$である．
(6)点$(1,\ 2)$に関して点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$([カ],\ [キ])$である．また，直線$2x-y-1=0$に関して，点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[クケ]}{[コ]},\ \frac{[サ]}{[シ]} \right)$である．
(7)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$5$，最小値が$-2$であるとき，$\displaystyle a=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(8)$2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の差の絶対値が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}$である．
(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$のとき，$x^2+y^2-xy=[アイ]$である．
(2)$\displaystyle 1+\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{x}}}=\frac{[ウ]x+[エ]}{[オ]x+[カ]}$である．
(3)$k$を定数とする．$2$次方程式$x^2+(3k+1)x+2k^2+2k-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，$\beta-\alpha=2$とする．このとき，$k=[キ]$であり，$\alpha=[クケ]$，$\beta=[コサ]$である．
(4)不等式$|2x^2+x-2|>1$の解は$\displaystyle x<\frac{[シス]}{[セ]}$，$\displaystyle [ソタ]<x<\frac{[チ]}{[ツ]}$，$[テ]<x$である．
(5)等式$720x=y^3$を満たす正の整数$x,\ y$の組のうち，$x$が最小であるものは$x=[アイウ]$，$y=[エオ]$である．
(6)点$(1,\ 2)$に関して点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$([カ],\ [キ])$である．また，直線$2x-y-1=0$に関して，点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[クケ]}{[コ]},\ \frac{[サ]}{[シ]} \right)$である．
(7)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$5$，最小値が$-2$であるとき，$\displaystyle a=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(8)$2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の差の絶対値が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}$である．
私立 藤田保健衛生大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．
(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．
私立 東京電機大学 2016年 第4問次の各問に答えよ．
(1)不等式$x^2-x-5<|2x-1|$を解け．
(2)和が$22$，最小公倍数が$60$となる$2$つの自然数を求めよ．
(3)関数$y=4 \sin^2 x-4 \cos x-3 (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 2)$を考える．点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(5)$3$次方程式$x^3+x^2-2x+1=0$の$3$つの解を$a_1,\ a_2,\ a_3$とするとき，${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2$の値を求めよ．
(1)不等式$x^2-x-5<|2x-1|$を解け．
(2)和が$22$，最小公倍数が$60$となる$2$つの自然数を求めよ．
(3)関数$y=4 \sin^2 x-4 \cos x-3 (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 2)$を考える．点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(5)$3$次方程式$x^3+x^2-2x+1=0$の$3$つの解を$a_1,\ a_2,\ a_3$とするとき，${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2$の値を求めよ．
私立 龍谷大学 2016年 第2問$4$次方程式
\[ x^4+2x^3+3x^2+2x+2=0 \quad \cdots\cdots (*) \]
について，次の問いに答えなさい．ただし，虚数単位を$i$とする．
(1)$x=i$が$(*)$の解であることを示しなさい．
(2)$(*)$のすべての解を求めなさい．
\[ x^4+2x^3+3x^2+2x+2=0 \quad \cdots\cdots (*) \]
について，次の問いに答えなさい．ただし，虚数単位を$i$とする．
(1)$x=i$が$(*)$の解であることを示しなさい．
(2)$(*)$のすべての解を求めなさい．