「方程式」について
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(14ページ目:全1641問中131問~140問を表示)![名城大学](./img/univ/meijou.png)
次の$[ ]$を埋めよ.
(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$のとき,$x^2+y^2=[ア]$,$x^2-y^2=[イ]$である.
(2)関数$y=-2x^2+6x-5 (0 \leqq x \leqq 2)$の最大値は$[ウ]$,最小値は$[エ]$である.
(3)円$C_1:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と点$\mathrm{A}(3,\ 0)$の中点$\mathrm{Q}$の座標は$[オ]$である.これより,$\mathrm{P}$が$C_1$上をもれなく動くとき,$\mathrm{Q}$の描く軌跡は円であり,その方程式は$[カ]$である.
(4)放物線$C_2:y=x^2-2x$と直線$\ell:y=x$がある.$C_2$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり,$C_2$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である.
(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$のとき,$x^2+y^2=[ア]$,$x^2-y^2=[イ]$である.
(2)関数$y=-2x^2+6x-5 (0 \leqq x \leqq 2)$の最大値は$[ウ]$,最小値は$[エ]$である.
(3)円$C_1:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と点$\mathrm{A}(3,\ 0)$の中点$\mathrm{Q}$の座標は$[オ]$である.これより,$\mathrm{P}$が$C_1$上をもれなく動くとき,$\mathrm{Q}$の描く軌跡は円であり,その方程式は$[カ]$である.
(4)放物線$C_2:y=x^2-2x$と直線$\ell:y=x$がある.$C_2$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり,$C_2$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である.
![西南学院大学](./img/univ/seinan.png)
$x$の方程式$4^x+2^{x+1}-k=0$が,
$0 \leqq x \leqq 1$に解をもつのは$[イ] \leqq k \leqq [ウ]$のときであり,
また$\displaystyle k=\frac{21}{4}$のときの解は$x=\log_2 [エ]-1$である.
$0 \leqq x \leqq 1$に解をもつのは$[イ] \leqq k \leqq [ウ]$のときであり,
また$\displaystyle k=\frac{21}{4}$のときの解は$x=\log_2 [エ]-1$である.
![北里大学](./img/univ/kitazato.png)
次の文中の$[ア]$~$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい.
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である.また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である.
(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は,$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である.
(3)$i$を虚数単位とし,$z=-1+\sqrt{3}i$とすると,
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である.また,$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると,
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる.
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である.
(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える.
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき,これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する.
また,$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき,$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは,$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している.
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である.また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である.
(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は,$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である.
(3)$i$を虚数単位とし,$z=-1+\sqrt{3}i$とすると,
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である.また,$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると,
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる.
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である.
(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える.
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき,これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する.
また,$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき,$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは,$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
次の空欄$[ア]$~$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは,
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である.
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である.
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき,$\tan \theta$の値は$[カ]$である.
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である.
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち,最小のものは$[ク]$である.
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき,出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある.
(7)食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$がある.食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む.食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む.栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上,栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$を混合するとき,費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい.
(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき,$S$の値は$[シ]$である.
(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは,
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である.
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である.
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき,$\tan \theta$の値は$[カ]$である.
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である.
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち,最小のものは$[ク]$である.
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき,出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある.
(7)食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$がある.食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む.食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む.栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上,栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$を混合するとき,費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい.
(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき,$S$の値は$[シ]$である.
![京都薬科大学](./img/univ/kyotoyakka.png)
次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ.ただし,$[コ]$においては,$[コ]$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ.
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$,$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである.このとき,$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき,交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので,$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである.
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は,$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である.
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき,$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする.これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき,$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には,関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ.したがって,もし$r$が整数ならば,$r$は$[コ]$($\mathrm{A}:$偶数,$\mathrm{B}:$奇数)である.このとき,$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる.
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とし,$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える.$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である.$2$次方程式$①$が実数解を持つとき,それが重解である条件付き確率は$[セ]$である.$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である.
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である.よって,$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である.同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと,$[ツ]$桁である.ただし,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}5=0.6990$とする.
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$,$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである.このとき,$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき,交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので,$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである.
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は,$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である.
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき,$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする.これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき,$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には,関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ.したがって,もし$r$が整数ならば,$r$は$[コ]$($\mathrm{A}:$偶数,$\mathrm{B}:$奇数)である.このとき,$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる.
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とし,$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える.$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である.$2$次方程式$①$が実数解を持つとき,それが重解である条件付き確率は$[セ]$である.$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である.
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である.よって,$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である.同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと,$[ツ]$桁である.ただし,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}5=0.6990$とする.
![京都薬科大学](./img/univ/kyotoyakka.png)
次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ.
$3$次関数$y=f(x)=x^2(x-3)$で与えられる曲線を$C$とする.
(1)関数$y=f(x)$は,$x=[ア]$のとき極大値$[イ]$をとる.また,$x=[ウ]$のとき極小値$[エ]$をとる.
(2)点$(1,\ -2)$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式は$y=[オ]$である.
(3)$(1)$の$[ア]$から$[エ]$で表される$2$点$([ア],\ [イ])$,$([ウ],\ [エ])$が$2$次関数$y=x^2+px+q$で与えられる放物線$C^\prime$上にあるとき,$p=[カ]$,$q=[キ]$である.
(4)$(2)$で求めた接線$\ell$と$(3)$で求めた放物線$C^\prime$で囲まれた部分の面積は$[ク]$である.
$3$次関数$y=f(x)=x^2(x-3)$で与えられる曲線を$C$とする.
(1)関数$y=f(x)$は,$x=[ア]$のとき極大値$[イ]$をとる.また,$x=[ウ]$のとき極小値$[エ]$をとる.
(2)点$(1,\ -2)$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式は$y=[オ]$である.
(3)$(1)$の$[ア]$から$[エ]$で表される$2$点$([ア],\ [イ])$,$([ウ],\ [エ])$が$2$次関数$y=x^2+px+q$で与えられる放物線$C^\prime$上にあるとき,$p=[カ]$,$q=[キ]$である.
(4)$(2)$で求めた接線$\ell$と$(3)$で求めた放物線$C^\prime$で囲まれた部分の面積は$[ク]$である.
![京都薬科大学](./img/univ/kyotoyakka.png)
次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ.
(1)$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$6$個入った袋$\mathrm{A}$と,$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$6$個入った袋$\mathrm{B}$がある.それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し,それらの球に書かれた数の合計が$k$となる場合の数を$f(k)$で表す.このとき,$xy$平面上の点$(k,\ f(k))$は,直線$x=[ア]$に関して対称な$2$直線上に並び,これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[イ]$である.
(2)$N$を$2$以上の整数とする.$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と,$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{B}$がある.それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し,それらの球に書かれた数の合計が$l$となる場合の数を$g(l)$で表す.このとき,$xy$平面上の点$(l,\ g(l))$は,直線$x=[ウ]$に関して対称な$2$直線上に並び,これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[エ]$である.
(3)$N$を$2$以上の整数とする.$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個と,$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と,$1$から$2N$までの数字が$1$つずつ書かれた青球が$2N$個入った袋$\mathrm{B}$がある.それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し,それらの球に書かれた数の合計が$m$となる場合の数を$h(m)$で表す.このとき,$xy$平面上の点$(m,\ h(m))$が並ぶ直線の方程式は以下のようになる.
\qquad \; \!\!$2 \leqq m \leqq [オ]$の$(m,\ h(m))$について,$y=[カ]$
$[オ] \leqq m \leqq [キ]$の$(m,\ h(m))$について,$y=[ク]$
$[キ] \leqq m \leqq [ケ]$の$(m,\ h(m))$について,$y=[コ]$
これらの$3$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[サ]$である.
(1)$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$6$個入った袋$\mathrm{A}$と,$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$6$個入った袋$\mathrm{B}$がある.それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し,それらの球に書かれた数の合計が$k$となる場合の数を$f(k)$で表す.このとき,$xy$平面上の点$(k,\ f(k))$は,直線$x=[ア]$に関して対称な$2$直線上に並び,これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[イ]$である.
(2)$N$を$2$以上の整数とする.$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と,$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{B}$がある.それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し,それらの球に書かれた数の合計が$l$となる場合の数を$g(l)$で表す.このとき,$xy$平面上の点$(l,\ g(l))$は,直線$x=[ウ]$に関して対称な$2$直線上に並び,これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[エ]$である.
(3)$N$を$2$以上の整数とする.$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個と,$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と,$1$から$2N$までの数字が$1$つずつ書かれた青球が$2N$個入った袋$\mathrm{B}$がある.それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し,それらの球に書かれた数の合計が$m$となる場合の数を$h(m)$で表す.このとき,$xy$平面上の点$(m,\ h(m))$が並ぶ直線の方程式は以下のようになる.
\qquad \; \!\!$2 \leqq m \leqq [オ]$の$(m,\ h(m))$について,$y=[カ]$
$[オ] \leqq m \leqq [キ]$の$(m,\ h(m))$について,$y=[ク]$
$[キ] \leqq m \leqq [ケ]$の$(m,\ h(m))$について,$y=[コ]$
これらの$3$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[サ]$である.
![倉敷芸術科学大学](./img/univ/geikadai.png)
次の方程式を解け.
\[ |x-3|=-4x \]
\[ |x-3|=-4x \]
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
次の空欄$[ア]$~$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$を全体集合とする.$A$を$6$の正の約数がつくる部分集合とし,$A$の補集合を$\overline{A}$とする.$B$を$9$の正の約数がつくる部分集合とし,$B$の補集合を$\overline{B}$とする.$\overline{A} \cup B$の要素を書き並べて表すと$[ア]$であり,$A \cap \overline{B}$の要素を書き並べて表すと$[イ]$である.
(2)等式$\displaystyle f(x)=-6x+2 \int_{-1}^2 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は,$f(x)=[ウ]$である.
(3)$2$次方程式$x^2+2ax+a=0$が$x=-a$を解として持つときの$a$の値をすべて求めると,$a=[エ]$である.
(4)$2$進法で表された数$1101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[オ]$である.
(5)複素数$x=a+bi (a>0,\ b>0)$が$x^4=-9$を満たすとき,定数$a=[カ]$,$b=[キ]$である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\cos 2\theta-\cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると,$\theta=[ク]$である.
(7)不等式$\displaystyle -2<\log_{8}x<\frac{5}{3}$を解くと,$\displaystyle \frac{1}{[ケ]}<x<[コ]$である.ただし,空欄に入る数は整数である.
(8)$p,\ q$を実数とし,$q>4$とする.座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(p,\ q)$,$\mathrm{B}(0,\ 4)$,$\mathrm{C}(1,\ -1)$,$\mathrm{D}(5,\ 3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta=[サ]$である.
(1)$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$を全体集合とする.$A$を$6$の正の約数がつくる部分集合とし,$A$の補集合を$\overline{A}$とする.$B$を$9$の正の約数がつくる部分集合とし,$B$の補集合を$\overline{B}$とする.$\overline{A} \cup B$の要素を書き並べて表すと$[ア]$であり,$A \cap \overline{B}$の要素を書き並べて表すと$[イ]$である.
(2)等式$\displaystyle f(x)=-6x+2 \int_{-1}^2 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は,$f(x)=[ウ]$である.
(3)$2$次方程式$x^2+2ax+a=0$が$x=-a$を解として持つときの$a$の値をすべて求めると,$a=[エ]$である.
(4)$2$進法で表された数$1101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[オ]$である.
(5)複素数$x=a+bi (a>0,\ b>0)$が$x^4=-9$を満たすとき,定数$a=[カ]$,$b=[キ]$である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\cos 2\theta-\cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると,$\theta=[ク]$である.
(7)不等式$\displaystyle -2<\log_{8}x<\frac{5}{3}$を解くと,$\displaystyle \frac{1}{[ケ]}<x<[コ]$である.ただし,空欄に入る数は整数である.
(8)$p,\ q$を実数とし,$q>4$とする.座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(p,\ q)$,$\mathrm{B}(0,\ 4)$,$\mathrm{C}(1,\ -1)$,$\mathrm{D}(5,\ 3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta=[サ]$である.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
$a,\ b$を実数,$t$を正の実数とする.$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2,\quad C_2:y=x^2+ax+b \]
が,点$\mathrm{P}(t,\ -t^2)$において同じ接線$\ell$を持つとする.また,点$\mathrm{P}$における$C_1$の法線を$m$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$\ell$と$m$の方程式をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(2)$a,\ b$をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(3)$m$と$C_2$の軸および$C_2$で囲まれる図形の面積$S_1$を$t$を用いて表せ.
(4)$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし,三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき,極限$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ.
\[ C_1:y=-x^2,\quad C_2:y=x^2+ax+b \]
が,点$\mathrm{P}(t,\ -t^2)$において同じ接線$\ell$を持つとする.また,点$\mathrm{P}$における$C_1$の法線を$m$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$\ell$と$m$の方程式をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(2)$a,\ b$をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(3)$m$と$C_2$の軸および$C_2$で囲まれる図形の面積$S_1$を$t$を用いて表せ.
(4)$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし,三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき,極限$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ.