次の$[　]$を埋めよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^2-y^2=[イ]$である．

(2)関数$y=-2x^2+6x-5 (0 \leqq x \leqq 2)$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(3)円$C_1:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と点$\mathrm{A}(3,\ 0)$の中点$\mathrm{Q}$の座標は$[オ]$である．これより，$\mathrm{P}$が$C_1$上をもれなく動くとき，$\mathrm{Q}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_2:y=x^2-2x$と直線$\ell:y=x$がある．$C_2$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり，$C_2$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である．

$x$の方程式$4^x+2^{x+1}-k=0$が，

$0 \leqq x \leqq 1$に解をもつのは$[イ] \leqq k \leqq [ウ]$のときであり，
また$\displaystyle k=\frac{21}{4}$のときの解は$x=\log_2 [エ]-1$である．

次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．

(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．

(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は，$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である．
(3)$i$を虚数単位とし，$z=-1+\sqrt{3}i$とすると，
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である．また，$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると，
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる．
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である．

(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える．
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき，これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する．
また，$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは，$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している．

次の空欄$[ア]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは，
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である．
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき，$\tan \theta$の値は$[カ]$である．
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である．
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち，最小のものは$[ク]$である．
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある．
(7)食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$がある．食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む．食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む．栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上，栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を混合するとき，費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい．

(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき，$S$の値は$[シ]$である．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．ただし，$[コ]$においては，$[コ]$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ．

(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$，$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである．このとき，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき，交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので，$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は，$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である．
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき，$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする．これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき，$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には，関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ．したがって，もし$r$が整数ならば，$r$は$[コ]$（$\mathrm{A}:$偶数，$\mathrm{B}:$奇数）である．このとき，$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる．
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とし，$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える．$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である．$2$次方程式$①$が実数解を持つとき，それが重解である条件付き確率は$[セ]$である．$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である．
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である．よって，$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である．同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと，$[ツ]$桁である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

$3$次関数$y=f(x)=x^2(x-3)$で与えられる曲線を$C$とする．

(1)関数$y=f(x)$は，$x=[ア]$のとき極大値$[イ]$をとる．また，$x=[ウ]$のとき極小値$[エ]$をとる．
(2)点$(1,\ -2)$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式は$y=[オ]$である．
(3)$(1)$の$[ア]$から$[エ]$で表される$2$点$([ア],\ [イ])$，$([ウ],\ [エ])$が$2$次関数$y=x^2+px+q$で与えられる放物線$C^\prime$上にあるとき，$p=[カ]$，$q=[キ]$である．
(4)$(2)$で求めた接線$\ell$と$(3)$で求めた放物線$C^\prime$で囲まれた部分の面積は$[ク]$である．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$6$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$6$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$k$となる場合の数を$f(k)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(k,\ f(k))$は，直線$x=[ア]$に関して対称な$2$直線上に並び，これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[イ]$である．
(2)$N$を$2$以上の整数とする．$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$l$となる場合の数を$g(l)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(l,\ g(l))$は，直線$x=[ウ]$に関して対称な$2$直線上に並び，これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[エ]$である．
(3)$N$を$2$以上の整数とする．$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個と，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$2N$までの数字が$1$つずつ書かれた青球が$2N$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$m$となる場合の数を$h(m)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(m,\ h(m))$が並ぶ直線の方程式は以下のようになる．


\qquad \; \!\!$2 \leqq m \leqq [オ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[カ]$
$[オ] \leqq m \leqq [キ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[ク]$
$[キ] \leqq m \leqq [ケ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[コ]$


これらの$3$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[サ]$である．

次の方程式を解け．
\[ |x-3|=-4x \]

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$を全体集合とする．$A$を$6$の正の約数がつくる部分集合とし，$A$の補集合を$\overline{A}$とする．$B$を$9$の正の約数がつくる部分集合とし，$B$の補集合を$\overline{B}$とする．$\overline{A} \cup B$の要素を書き並べて表すと$[ア]$であり，$A \cap \overline{B}$の要素を書き並べて表すと$[イ]$である．
(2)等式$\displaystyle f(x)=-6x+2 \int_{-1}^2 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$f(x)=[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+2ax+a=0$が$x=-a$を解として持つときの$a$の値をすべて求めると，$a=[エ]$である．
(4)$2$進法で表された数$1101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[オ]$である．
(5)複素数$x=a+bi (a>0,\ b>0)$が$x^4=-9$を満たすとき，定数$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\cos 2\theta-\cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると，$\theta=[ク]$である．
(7)不等式$\displaystyle -2<\log_{8}x<\frac{5}{3}$を解くと，$\displaystyle \frac{1}{[ケ]}<x<[コ]$である．ただし，空欄に入る数は整数である．
(8)$p,\ q$を実数とし，$q>4$とする．座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1)$，$\mathrm{D}(5,\ 3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta=[サ]$である．

$a,\ b$を実数，$t$を正の実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2,\quad C_2:y=x^2+ax+b \]
が，点$\mathrm{P}(t,\ -t^2)$において同じ接線$\ell$を持つとする．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$の法線を$m$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$m$の方程式をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)$m$と$C_2$の軸および$C_2$で囲まれる図形の面積$S_1$を$t$を用いて表せ．
(4)$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．